Ce este ortocentrul unui triunghi cu colțuri la (5, 2), (3, 7) și (4, 9) #?

Răspuns:

#(-29/9, 55/9)#

Explicaţie:

Găsiți orthocenterul triunghiului cu vârfurile lui #(5,2), (3,7),(4,9)#.

Voi numi triunghiul # # DeltaABC cu # A = (5,2) #, # B = (3,7) # și # C = (4,9) #

Orthocenterul este intersecția altitudinilor unui triunghi.

O altitudine este un segment de linie care trece printr-un vârf al unui triunghi și este perpendicular pe partea opusă.

Dacă găsiți intersecția a două dintre cele trei altitudini, acesta este ortocentrul, deoarece al treilea altitudine va intersecta și celelalte în acest punct.

Pentru a găsi intersecția a două altitudini, mai întâi trebuie să găsiți ecuațiile celor două linii care reprezintă altitudinile și apoi să le rezolvați într-un sistem de ecuații pentru a găsi intersecția lor.

Mai întâi vom găsi panta segmentului de linie între #A și B # folosind formula de panta # M = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} #

#m_ (AB) = frac {} {7-2 3-5} = - 5/2 #

Panta o linie perpendiculară pe acest segment de linie este semnul opus reciproc al lui #-5/2#, care este #2/5#.

Folosind formula pantă punct # Y-y_1 = m (x-x_1) # găsim ecuația de altitudine de la vârf # # C în lateral # # AB.

# Y-9 = 2/5 (x-4) #

# y-9 = 2/5 x -8 / 5 #

# -2 / 5x + y = 37 / 5color (alb) (aaa) # sau

# y = 2/5 x + 37/5 #

Pentru a găsi ecuația unei a doua altitudini, găsiți panta uneia dintre celelalte laturi ale triunghiului. Să alegem BC.

#m_ (BC) = {9-7} frac {4-3} = 2/1 = 2 #

Panta perpendiculară este #-1/2#.

Pentru a găsi ecuația altitudinii de la vârf #A# în lateral # # BC, folosiți din nou formula pantă punct.

# Y-2 = -1 / 2 (x-5) #

# y-2 = -1 / 2x + 5/2 #

# 1/2 x + y = 9/2 #

Sistemul de ecuații este

#color (alb) (a ^ 2) 1/2 x + y = 9/2 #

# -2 / 5x + y = 37/5 #

Rezolvarea acestui sistem duce la randamente #(-29/9, 55/9)#