Cum găsiți derivatul tan (x - y) = x?

Răspuns:

# (Dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Explicaţie:

Presupun că vrei să găsești # (Dy) / (dx) #. Pentru aceasta avem nevoie mai întâi de o expresie # Y # in termeni de #X#. Observăm că această problemă are numeroase soluții, deoarece #tan (x) # este o funcție periodică, #tan (x-y) = x # vor avea mai multe soluții. Totuși, deoarece cunoaștem perioada funcției tangente (# Pi #), putem face următoarele: # x-y = tan ^ (- 1) x + NPI #, Unde #tan ^ (- 1) # este funcția inversă a valorilor tangente care dau valori între # Pi / 2 # și # Pi / 2 # și factorul # # NPI a fost adăugată pentru a ține seama de periodicitatea tangentei.

Acest lucru ne oferă # Y = x-tan ^ (- 1) x-NPI #, prin urmare # (Dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, rețineți că factorul # # NPI a disparut. Acum trebuie să găsim # D / (dx) tan ^ (- 1) x #. Acest lucru este destul de dificil, dar poate fi realizat folosind teorema funcției inverse.

reglaj # U = tan ^ (- 1) x #, noi avem # X = tanu = sinu / cosu #, asa de # (Dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, folosind regula de coeficient și unele identități trigonometrice. Folosind teorema funcției inverse (care afirmă că dacă # (Dx) / (du) # este continuă și non-zero, avem # (Du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), noi avem # (Du) / (dx) = cos ^ 2u #. Acum trebuie să ne exprimăm # cos ^ 2u # în termeni de x.

Pentru a face acest lucru, folosim o anumită trigonometrie. Având un triunghi drept cu laturile # A, b, c # Unde # C # este hypotenuse și # A, b # conectat la unghiul drept. Dacă # U # este unghiul în care se află partea # C # intersectează partea #A#, noi avem # X = tanu = b / a #. Cu simbolurile # A, b, c # în ecuațiile indicate de lungimea acestor muchii. # Cosu = a / c # și folosind teorema lui Pythagoras, aflăm # C = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Asta da # Cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, asa de # (Du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

De cand # U = tan ^ (- 1) x #, putem înlocui acest lucru în ecuația noastră # (Dy) / (dx) # si gaseste # (Dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.