Să presupunem că există o bază și un anumit număr de dimensiuni pentru subspațiul W în RR ^ 4. De ce este numărul de dimensiuni 2?

Răspuns:

4 dimensiuni minus 2 constrângeri = 2 dimensiuni

Explicaţie:

Coordonatele 3 și 4 sunt singurele. Primele două pot fi exprimate în termenii ultimelor două.

Răspuns:

Dimensiunea unui subspațiu este determinată de bazele sale, și nu de dimensiunea oricărui spațiu vectorial în care este un subspațiu.

Explicaţie:

Dimensiunea unui spațiu vectorial este definită de numărul de vectori într-o bază a acelui spațiu (pentru spații dimensionale infinite, este definită de cardinalitatea unei baze). Rețineți că această definiție este consecventă deoarece putem demonstra că orice bază a unui spațiu vectorial va avea același număr de vectori ca orice altă bază.

În cazul în care # RR ^ n # noi stim aia #dim (RR ^ n) = n # la fel de

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

este o bază pentru # RR ^ n # și a avut # N # elemente.

În cazul în care #W = s, t în RR # putem scrie orice element # W # la fel de #svec (u) + tvec (v) # Unde #vec (u) = (4,1,0,1) # și #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Din asta, avem asta # {vec (u), vec (v)} # este un set de spanning pentru # W #. pentru că #vec (u) # și #vec (v) # nu sunt în mod clar multiplii scalari unul de celălalt (notează pozițiile #0#s), asta înseamnă că # {vec (u), vec (v)} # este un set de spanning liniar independent pentru # W #, care este o bază. pentru că # W # are o bază cu #2# elemente, spunem asta #dim (W) = 2 #.

Rețineți că dimensiunea unui spațiu vectorial nu depinde de faptul dacă vectorii săi pot exista în alte spații vectoriale de dimensiuni mai mari. Singura relație este că dacă # W # este un subspațiu al # V # atunci #dim (W) <= dim (V) # și #dim (W) = dim (V) <=> W = V #