Este numărul real, numărul real, numărul rațional, întregul număr, întregul, numărul irațional?

Răspuns:

Este un număr irațional și deci real.

Explicaţie:

Să dovedim mai întâi asta #sqrt (21) # este un număr real, de fapt, rădăcina pătrată a tuturor numerelor reale pozitive este reală. Dacă #X# este un număr real, apoi definim pentru numerele pozitive #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Asta înseamnă că privim toate numerele reale # Y # astfel încât # Y ^ 2 <= x # și ia cel mai mic număr real care este mai mare decât toate acestea # Y #'s, așa-numitul supremum. Pentru numere negative, acestea # Y #nu există, deoarece pentru toate numerele reale, luarea pătratului acestui număr are ca rezultat un număr pozitiv, iar toate numerele pozitive sunt mai mari decât numerele negative.

Pentru toate numerele pozitive, există întotdeauna unele # Y # care se potriveste cu conditia # Y ^ 2 <= x #, și anume #0#. În plus, există o limită superioară la aceste numere, și anume # x + 1 #, deoarece dacă # 0 <= y <1 #, atunci # X + 1> y #, dacă #Y> = 1 #, atunci #Y <= y ^ 2 <= x #, asa de # X + 1> y #. Putem arăta că pentru fiecare set de numere reale nelimitate, este întotdeauna un număr real unic care acționează ca un suprem, datorită așa-numitei exhausții a # RR #. Deci, pentru toate numerele reale pozitive #X# există o realitate #sqrt (x) #. De asemenea, putem arăta că în acest caz #sqrt (x) ^ 2 = x #, dar dacă nu vrei, nu voi demonstra asta aici. În cele din urmă, observăm asta #sqrt (x)> = 0 #, de cand #0# este un număr care se potrivește cu starea, așa cum sa menționat anterior.

Acum, pentru iraționalitatea lui #sqrt (21) #. Dacă nu ar fi irațional (atât de rațional), am putea scrie așa #sqrt (21) = a / b # cu #A# și # B # numere întregi și # A / b # simplificată cât mai mult posibil, ceea ce înseamnă că #A# și # B # nu au divizor comun, cu excepția #1#. Acum asta înseamnă asta # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Acum folosim ceva numit factorizarea primară a numerelor naturale. Aceasta înseamnă că putem nota fiecare număr întreg pozitiv ca un produs unic al numerelor prime. Pentru #21# aceasta este #3*7# si pentru #A# și # B # acesta este un produs arbitrar al primelor # A = a_1 * … * a_n # și # B = b_1 * … * b_m #. Faptul că singurul divizor al comunității #A# și # B # este #1# este echivalent cu faptul că #A# și # B # nu împărtășesc primele în factorizarea lor, deci există # # A_i și #B j# astfel încât # A_i = b_j #. Aceasta înseamnă că # A ^ 2 # și # B ^ 2 # de asemenea, nu împărtășesc nici un primes, deoarece # O ^ 2 = a_1 * a_1 * … * * a_n a_n # și # B ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., deci singurul divizor al comunității # A ^ 2 # și # B ^ 2 # este #1#. De cand # A ^ 2 = 21b ^ 2 #, asta înseamnă # B ^ 2 = 1 #, asa de # B = 1 #. Prin urmare #sqrt (21) = a #. Rețineți că acest lucru este valabil numai pentru presupunerea că #sqrt (21) # este rațională.

Acum am putea, bineînțeles, să trecem prin toate numerele pozitive întregi mai mici decât #21# și verificați dacă le dă un câmp #21#, dar aceasta este o metodă plictisitoare. Pentru ao face într-un mod mai interesant, ne întoarcem din nou la primii noștri. Noi stim aia # O ^ 2 = a_1 * a_1 * … * * a_n a_n # și #21=3*7#, asa de # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * * a_n a_n #. În partea stângă, fiecare prim apare o singură dată, pe partea dreaptă, fiecare prim apare cel puțin de două ori și întotdeauna o cantitate uniformă (dacă # A_1 = a_n # ar fi pentru instace să apară cel puțin de patru ori). Dar, după cum am afirmat, aceste factorizări primare sunt unice, deci acest lucru nu poate fi corect. Prin urmare # 21nea ^ 2 #, asa de #anesqrt (21) #, ceea ce înseamnă că presupunerea noastră mai devreme #sqrt (21) # fiind rațional se dovedește a fi greșit, prin urmare #sqrt (21) # este irațional.

Rețineți că același argument este valabil pentru orice număr întreg pozitiv #X# cu o factorizare primară în care unul dintre prime primește un număr neuniform de ori, deoarece pătratul unui număr întreg are întotdeauna toți factorii săi primari care afișează o cantitate uniformă de ori. Din aceasta conchidem că dacă #X# este un număr întreg pozitiv (#x inNN #) are un factor prim care are loc doar o cantitate neuniformă de timp, #sqrt (x) # va fi irațional.

Sunt conștient că această dovadă poate părea un pic mai lungă, dar folosește concepte importante din matematică. Probabil în orice curriculum de liceu, aceste raționamente nu sunt incluse (nu sunt 100% sigură, nu știu curriculum-ul fiecărei licee din lume), dar pentru matematicieni reali, lucrurile doveditoare sunt una dintre cele mai importante activități pe care le desfășoară. Prin urmare, am vrut să vă arăt ce fel de matematică se află în spatele preluării rădăcinii pătrate a lucrurilor. Ceea ce trebuie să luați de la asta este într-adevăr #sqrt (21) # este un număr irațional.