Un triunghi are colțuri la (4, 1), (2, 4) și (0, 2) #. Care sunt punctele finale ale bisectoarelor perpendiculare ale triunghiului?

Răspuns:

Obiectivele ușoare sunt punctele medii, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# iar cele mai dificile sunt acolo unde bisectorii se întâlnesc și cu alte părți #(8/3,4/3).#

Explicaţie:

Prin bisectoarele perpendiculare ale unui triunghi probabil presupunem bisectorul perpendicular al fiecărei laturi a unui triunghi. Deci, există trei bisectoare perpendiculare pentru fiecare triunghi.

Fiecare bisector perpendicular este definit pentru a se intersecta pe o parte la mijlocul ei. Se va intersecta și una dintre celelalte laturi. Vom presupune că cele două întâlniri sunt obiectivele finale.

Punctele medii sunt

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3)

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Acesta este probabil un loc bun pentru a afla despre reprezentările parametrice pentru linii și segmente de linie. # T # este un parametru care poate varia între reali (pentru o linie) sau de la #0# la #1# pentru un segment de linie.

Să notăm punctele #A (4,1) #, #B (2,4) # și #C (0,2) #. Cele trei laturi sunt:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t)

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t)

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t)

La fel de # T # merge de la zero la unul pe care îl urmărim fiecare parte.

Să lucrăm unul. # D # este punctul de mijloc al # # BC, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3)

Vectorul de direcție de la C la B este # B-C = (2,2) #. Pentru perpendicular, inversăm cei doi coeficienți (fără efect aici pentru că sunt ambii #2#) și să negăm una. Deci ecuația parametrică pentru perpendicular

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3)

(Linie diferită, parametru diferit.) Putem vedea unde se întâlnește fiecare parte.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # verifică faptul că bisectorul perpendicular întâlnește BC la mijlocul acestuia.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

scăzând, # t = 2-3 = - 1 #

Asta este în afara intervalului, astfel încât bisectorul perpendicular al lui BC nu lovește partea AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

scăzând, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Asta dă celălalt punct final ca

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Acest lucru devine mult timp, așa că vă voi lăsa celelalte două puncte finale.