Cum pot găsi integritatea int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Folosind Integrarea prin piese,

# INTx ^ 2sinpixdx #

#=#

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix +

Amintiți-vă că integrarea prin componente utilizează formula:

# # Intu # # DV = #uv - intv # # # Du

Care se bazează pe regula de produs pentru derivate:

#uv = vdu + udv #

Pentru a folosi această formulă, trebuie să decidem ce termen va fi # U #, și care va fi # # DV. O modalitate utilă de a afla care termen se duce unde este AM INTARZIAT metodă.

Invers Trig

logaritmi

Algebră

trig

exponentials

Aceasta vă dă un ordin de prioritate a cărui termen este folosit pentru "# U #", deci tot ce a rămas devine al nostru # # DV. Funcția noastră conține o # X ^ 2 # și a # # Sinpix, astfel încât metoda ILATE ne spune acest lucru # X ^ 2 # ar trebui să fie utilizate ca și noi # U #, deoarece este algebric și mai mare pe listă decât # # Sinpix, care este trig.

Acum avem:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

Următoarele elemente de care avem nevoie în formula sunt "# # Du" și "# V #", pe care le obținem prin găsirea derivatului"# U #"și integrale de"# # DV'.

Derivatul este obținut utilizând regula de putere:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

Pentru integrale, putem folosi substituția.

utilizând #w = pix #, am terminat # (- 1 / pi) cosw #

Acum avem:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

Conectându-ne la formula noastră originală Integration by Parts, avem:

# # Intu # # DV = #uv - intv # # # Du

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #

Acum suntem lasati cu un alt integrant pe care trebuie sa-l folosim inca o data pentru a rezolva problema. Trageți #2# din integrale, am rămas cu #u = x #, #dv = cospix #. Trecând prin același proces de până acum, primim:

#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

Acest ultim integrator putem rezolva cu o rundă finală de substituire, oferindu-ne:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

Punând tot ce am găsit împreună, acum avem:

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix -

Acum putem simplifica negativul și paranteza pentru a obține răspunsul nostru final:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix +

Cheia este să vă amintiți că veți ajunge la un lanț de termeni multipli adăugați sau scăzuți împreună. Distribuiți continuu piesa integrală în părți mai mici, ușor de gestionat, pe care trebuie să le urmăriți pentru răspunsul final.

Cum pot găsi integritatea int (ln (x)) ^ 2dx?

Obiectivul nostru este de a reduce puterea lui ln x, astfel încât integrarea să fie mai ușor de evaluat. Putem realiza acest lucru prin utilizarea integrării prin părți. Rețineți formula IBP: int u dv = uv - int v du Acum, vom lăsa u = (lnx) ^ 2 și dv = dx. Prin urmare, du = (2inx) / x dx și v = x. Acum, asamblând piesele împreună, primim: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Acest nou integral arată mult mai bine! Simplificând un pic și aducând constant în față, randamentele: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Acum, pentru a scăpa de acest integral integrat,

Cum pot găsi integritatea int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Acest integrat va necesita integrarea pe părți. Rețineți formula: int u dv = uv - int v du Vom lăsa u = x, și dv = e ^ (- x) dx. Prin urmare, du = dx. Găsirea v va necesita o substituție u; Voi folosi litera q în loc de u, deoarece deja folosim u în formula integrării prin părți. v = int e ^ (- x) dx lasă q = -x. Astfel, dq = -dx Vom rescrie integralele, adăugând două negative pentru a găzdui dq: v = -int -e ^ (- x) dx Scris în termeni q: v = -int e ^ (q) dq = -e ^ (q) Înlocuirea pentru q ne dă: v = -e ^ (- x) Acum, privi

Care este integritatea int int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ ^ (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Putem folosi substituția pentru a elimina cos (x). Deci, să folosim păcatul (x) ca sursă. (d) / (dx) = cos (x) Găsirea dx va da, dx = 1 / cos (x) * du Acum înlocuind integralul original cu substituția, (x + 1) cos (x) * 1 / cos (x) du Putem anula cos (x) 1/4 u ^ 4 + C Acum setarea pentru u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C