Două colțuri ale unui triunghi isoscel sunt la (8, 3) și (5, 4). Dacă suprafața triunghiului este 4, care sunt lungimile laturilor triunghiului?

Răspuns:

Lungimea laturilor este #sqrt 10, sqrt 10, sqrt 8 # și punctele sunt # (8,3), (5,4) și (6,1) #

Explicaţie:

Lăsați punctele triunghiului să fie # (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3). #

Zona triunghiului este A = # ((x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) / 2) #

Dat # A = 4, (x_1, y_1) = (8,3), (x2, y2) = (5,4) #

Înlocuindu-ne avem următoarea ecuație:

# ((8 (4-y3) + 5 (y3-3) + x3 (3-4)) / 2) = 4 #

# ((8 (4-y3) + 5 (y3-3) + x_3 (3-4)) = 8 #

# (32 - 8y_3) + (5y_3-15) + (-1x_3) = 8 #

# 17 - 3y_3 -x_3 = 8 #

# - 3y_3 -x_3 = (8-17) #

# - 3y_3 -x_3 = -9 #

# 3y_3 + x_3 = 9 # ----> Ecuația 1

Distanța dintre puncte #(8,3), (5,4)# folosind formula distanta este

#sqrt ((8-5) ^ 2 + (3-4) ^ 2) # = #sqrt (3 ^ 2 + (- 1) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Distanța dintre puncte # (x_3, y_3), (5,4) # folosind formula distanta este

#sqrt ((x_3-5) ^ 2 + (y_3-4) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Squaring ambele părți și subsituting # x_3 = 9 - 3y_3 # din ecuația 1, obținem o ecuație patratică.

# (9-3y_3-5) ^ 2 + (y_3-4) ^ 2 = 0 #

# (4-3y_3) ^ 2 + (y_3-4) ^ 2 = 0 #

Factorizând acest lucru, ajungem # (y-1) (10y-22) = 0 #

y = 1 sau y = 2,2. y = 2.2 poate fi aruncat. Prin urmare, al treilea punct trebuie să fie (6,1).

Prin calcularea distanțelor pentru puncte # (8,3), (5,4) și (6,1) #, primim # sqrt 8 # pentru lungimea bazei.