Care este domeniul și domeniul f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Răspuns:

Domeniul este # RR # (toate numerele reale) și intervalul este # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(toate numerele reale între și inclusiv # (5-sqrt (61)) / 72 # și # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Explicaţie:

În domeniu, începem cu toate numerele reale și apoi eliminăm orice ne-ar forța să avem rădăcina pătrată a unui număr negativ sau un #0# în numitorul unei fracții.

Pe scurt, știm asta ca # x ^ 2> = 0 # pentru toate numerele reale, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Astfel numitorul nu va fi #0# pentru orice număr real #X#, ceea ce înseamnă că domeniul include fiecare număr real.

Pentru interval, cel mai simplu mod de a găsi valorile de mai sus implică un anumit număr de bază. Deși este mai lungă, este posibil, de asemenea, să le găsim folosind numai algebră, cu metoda descrisă mai jos.

Începând cu funcția #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # dorim să găsim toate valorile posibile ale #f (x) #. Aceasta este echivalentă cu găsirea domeniului funcției inverse # F ^ -1 (x) # (o funcție cu proprietatea # f ^ 1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Din păcate, inversul lui #f (x) # în acest caz nu este o funcție, deoarece returnează două valori, totuși ideea rămâne aceeași. Vom începe cu ecuația #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # și rezolva pentru #X# pentru a găsi inversul. Apoi, vom examina valorile posibile ale # Y # pentru a găsi domeniul invers și, prin urmare, intervalul funcției inițiale.

Rezolvarea pentru #X#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2-x + (36y-5) = 0 #

Tratare # Y # ca o constantă, aplicăm formula patratică

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2-4ac)

a obtine

# x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Acum trebuie să găsim domeniul expresiei de mai sus (rețineți că nu este o funcție din cauza #+-#). Rețineți că prin divizarea prin # Y # în formula quadratică, am pierdut posibilitatea # Y = 0 #, ceea ce este clar posibil în ecuația inițială (pentru #x = -5 #). Astfel, vom neglija # Y # în numitorul invers, și se concentrează doar pe rădăcina pătrată.

Așa cum am menționat mai sus, nu permitem rădăcina pătrată a unei valori mai mici de 0 și deci avem restricția

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Folosirea formulei patrate pe # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # găsim, după o anumită simplificare, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

În cele din urmă, putem spune asta # | Y | # creste mare, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # va fi mai mică decât #0#. Astfel, considerăm intervalul dintre

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # și #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Astfel, valorile admise pentru # Y #, și, prin urmare, intervalul pentru #f (x) #, este

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #