La ce intervale ecuația următoare este concavă, concavă în jos și unde punctul de inflexiune este (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Răspuns:

• dacă # 0 <x <e ^ (- 15/56) # atunci # F # este concavă în jos;
• dacă #x> e ^ (- 15/56) # atunci # F # este concavă în sus;
• # X = e ^ (- 15/56) # este a (care se încadrează) punct de inflexiune

Explicaţie:

Pentru a analiza punctele concavității și inflexiunii unei funcții de două ori diferențiate # F #, putem studia pozitivitatea celui de-al doilea derivat. De fapt, dacă # # X_0 este un punct în domeniul # F #, atunci:

• dacă #f '' (x_0)> 0 #, atunci # F # este concavă în sus într-un cartier de # # X_0;
• dacă #f '' (x_0) <0 #, atunci # F # este concavă în jos într-un cartier de # # X_0;
• dacă #f '' (x_0) = 0 # și semnul #F '' # pe o cartieră suficient de mică din dreapta # # X_0 este opus semnului #F '' # pe o vecinătate suficient de mică spre stânga # # X_0, atunci # X = x_0 # este numit un punct de inflexiune de # F #.

În cazul specific #f (x) = x ^ ln (x) #, avem o funcție a cărei domeniu trebuie limitat la reali pozitivi #RR ^ + #.

Primul derivat este

(x) + x ^ 8 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Al doilea derivat este

#f "(x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln

Să studiem pozitivitatea #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 dacă x x 0 0 #
• # 56ln (x) + 15> 0 dacă dacă ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Deci, având în vedere că domeniul este #RR ^ + #, avem asta

• dacă # 0 <x <e ^ (- 15/56) # atunci #f '' (x) <0 # și # F # este concavă în jos;
• dacă #x> e ^ (- 15/56) # atunci #f '' (x)> 0 # și # F # este concavă în sus;
• dacă # X = e ^ (- 15/56) # atunci #f '' (x) = 0 #. Considerând că la stânga acestui punct #F '' # este negativ, iar în dreapta este pozitiv, concluzionăm # X = e ^ (- 15/56) # este a (care se încadrează) punct de inflexiune