Funcția f (x) = sin (3x) + cos (3x) este rezultatul unei serii de transformări, prima fiind o traducere orizontală a funcției sin (x). Care dintre acestea descrie prima transformare?

Răspuns:

Putem obține graficul # Y = f (x) # din # # Ysinx prin aplicarea următoarelor transformări:

• o traducere orizontală a # Pi / 12 # radiani la stânga

• o întindere de-a lungul #Bou# cu un factor de scară de #1/3# Unități

• o întindere de-a lungul # # Oy cu un factor de scară de #sqrt (2) # Unități

Explicaţie:

Luați în considerare funcția:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Să presupunem că putem scrie această combinație liniară de sine și cosinus ca o singură fază schimbată funcție sinusoidală, adică presupunem că avem:

# f (x) - = Asin (3x + alfa) #

# A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# = Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

În acest caz, prin compararea coeficienților de # # Sin3x și # # Cos3x noi avem:

# Acos alfa = 1 # și # Asinalpha = 1 #

Prin dublare și adăugare avem:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 =

Prin împărțire avem:

# tan alfa => alfa = pi / 4 #

Astfel putem scrie, #f (x) # în forma:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

# = sqrt (2) păcat (3x + pi / 4) #

(2) păcat (3 (x + pi / 12)) #

Așa că putem obține graficul # Y = f (x) # din # # Ysinx prin aplicarea următoarelor transformări:

• o traducere orizontală a # Pi / 12 # radiani la stânga
• o întindere de-a lungul #Bou# cu un factor de scară de #1/3# Unități
• o întindere de-a lungul # # Oy cu un factor de scară de #sqrt (2) # Unități

Ce putem vedea grafic:

Graficul graficului # Y = sinx #:

grafic {sinx -10, 10, -2, 2}

Graficul graficului # Y = sin (x + pi / 12) #:

Graficul {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

Graficul graficului # y = sin (3 (x + pi / 12)) = păcat (3x + pi / 4) #:

grafic {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Graficul graficului # y = sqrt (2) păcat (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2):

Graficul {sqrt (2) păcat (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

În final, graficul funcției originale pentru comparație:

Graficul {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}