Întrebarea # 53a2b + Exemplu

Răspuns:

Această definiție a distanței este invariantă în schimbarea cadrului inerțial și, prin urmare, are semnificație fizică.

Explicaţie:

Spațiul Minkowski este construit pentru a fi un spațiu 4-dimensional, cu coordonate de parametri # (X_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, unde de obicei spunem # X_0 = ct #. În centrul relativității speciale, avem transformările Lorentz, care sunt transformări dintr-un cadru inerțial în altul, care lasă viteza luminii invariabile. Nu voi intra în derivarea completă a transformărilor Lorentz, dacă vreți să explic acest lucru, întrebați-mă și voi intra în mai multe detalii.

Ceea ce este important este următorul. Când ne uităm la spațiul euclidian (spațiul în care avem definiția obișnuită a lungimii cu care suntem obișnuiți) # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), avem anumite transformări; rotații spațiale, traduceri și oglinzi. Dacă se calculează distanța dintre două puncte în diferite cadre de referință legate de aceste transformări, găsim că distanța trebuie să fie aceeași. Aceasta înseamnă că distanța euclidiană este invariabilă în aceste transformări.

Acum extindem această noțiune la spațiu spațial 4-dimensional. Înainte de teoria relativității speciale a lui Einstein, am conectat cadre inerțiale cu transformările Galilei, care tocmai au înlocuit o coordonată spațială # # X_i de # X_i-v_it # pentru #iin {1,2,3} # Unde # # V_i este viteza observatorului în # I # direcție față de cadrul original. Această transformare nu a lăsat viteza luminii invariantă, dar a lăsat distanța indusă de elementul de linie # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, pur și simplu pentru că nu există nici o schimbare în coordonatele timpului, deci timpul este absolut.

Totuși, transformarea Galilei nu descrie cu exactitate transformarea unui cadru inerțial în altul, deoarece știm că viteza luminii este invariabilă sub o transformare corectă a coordonatelor. Prin urmare, am introdus transformarea Lorentz. DistanŃa Euclidiană extinsă la spaŃiul spatial 4-dim, așa cum a fost făcut mai sus, nu este invariantă în cadrul acestei transformări Lorentz, totuși distanŃa indusă de # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # este, pe care o numim distanța potrivită. Deci, chiar dacă această distanță Euclidiană în care se află teorema lui Pitagora este o structură matematică perfect decentă în spațiul 4 dim, nu are nici un sens fizic, deoarece depinde de observator.

Distanța corectă nu depinde de observator, de aceea îi putem da înțelesul fizic, acest lucru se face prin conectarea arclenght-ului unei linii mondiale prin spațiul Minkowski folosind această distanță până la timpul trecut observat de un obiect care călătorește de-a lungul acestei linii mondiale. Rețineți că dacă lăsăm timp fixat, teorema lui Pythagoras rămâne în coordonatele spațiale.

EDITARE / EXPLICAȚII SUPLIMENTARE:

Întrebarea inițială a acestei întrebări mi-a cerut să scriu un pic mai mult, el a scris: "Mulțumesc. Dar, puteți să vă explicați ultimele două parasuri un pic mai mult într-o carte pe care am văzut-o # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 #. Vă rugăm să explicați "În esență, ceea ce avem aici este o versiune bidimensională a ceea ce am descris mai sus.Avem o descriere a spațiului spațial cu o singură dimensiune a timpului și a spațiului.Pe aceasta definim o distanță sau mai precis o normă (o distanță de originea până la un punct) # S # folosind formula # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # Unde #X# este coordonatele spațiale și # T # coordonata temporală.

Ceea ce am făcut mai sus a fost o versiune tridimensională a acestui lucru, dar mai important am folosit # (ds) ^ 2 # in loc de # s ^ 2 # (Am adăugat paranteze pentru a clarifica ceea ce este pătrat). Fără a intra prea mult în detalii despre geometria diferențială, dacă avem o linie care leagă două puncte în spațiu, # ds # este lungimea unei bucăți mici de linie, așa-numitul element de linie. Printr-o versiune 2D a ceea ce am scris mai sus, avem # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, care corelează lungimea acestei mici piese cu schimbarea mica a coordonatelor. Pentru a calcula distanța de la origine la un punct # X_0 = a, x_1 = b # în spațiu vom calcula lungimea unei linii drepte care merge de la origine până la acel punct, această linie este dată # X_0 = a / bx_1 # Unde # X_1in 0, b #, am notat asta # Dx_0 = a / bdx_1 #, asa de # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, asa de # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, pe care le putem integra, dând # S = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Prin urmare # S ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # în # (T, x) # coordonate.

De fapt, ceea ce am scris mai sus oferă ceea ce citiți în carte. Cu toate acestea, versiunea elementului de linie vă permite să calculați lungimea oricărei linii, nu doar liniile drepte. Povestea despre transformarea Lorentz încă mai conține această normă # S # este invariant în schimbarea cadrului de referință, în timp ce # X ^ 2 + (ct) ^ 2 # nu este.

Faptul că teorema lui Pitagoras nu are loc nu este atât de surprinzător. Teorema lui Pythagoras se află în geometria euclidiană. Acest lucru înseamnă că spațiul în care lucrați este plat. Un exemplu de spații care nu sunt plane este suprafața unei sfere. Când doriți să găsiți distanța dintre două puncte de pe această suprafață, luați lungimea celei mai scurte căi pe această suprafață care leagă aceste două puncte. Dacă ați construi un triunghi drept pe această suprafață, care ar arăta foarte diferit de un triunghi în spațiul euclidian, deoarece liniile nu ar fi drepte, teorema lui Pythagoras nu este în general.

O altă caracteristică importantă a geometriei euclidane este că atunci când puneți un sistem de coordonate pe acest spațiu, fiecare coordonată îndeplinește același rol. Ați putea roti axele și ați terminat cu aceeași geometrie. În geometria lui Minkowski de mai sus, nu toate coordonatele au același rol, deoarece axele timpului au un semn minus în ecuații, iar celelalte nu au. Dacă acest semn minus nu era acolo, timpul și spațiul ar avea un rol similar în spațiu, sau cel puțin în geometrie. Dar știm că spațiul și timpul nu sunt la fel.