Care este derivatul lui x ^ n?

Pentru funcția respectivă #f (x) = x ^ n #, n ar trebui nu egal cu 0, din motive care vor deveni clare. n ar trebui să fie, de asemenea, un număr întreg sau un număr rațional (adică o fracțiune).

Regula este:

# f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1)

Cu alte cuvinte, "împrumutăm" puterea lui x și îl facem coeficientul derivatului și apoi scădem 1 din putere.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

# f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2)

Așa cum am menționat, cazul special este unde n = 0. Aceasta înseamnă că

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Putem folosi regula noastră și tehnic obțineți răspunsul corect:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Cu toate acestea, mai târziu în jos pe pistă, vom întâmpina complicații atunci când vom încerca să folosim inversul acestei reguli.

Răspuns:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Mai jos sunt dovezile pentru fiecare număr, dar numai dovada pentru toți numerele întregi utilizează abilitățile de bază ale definiției derivatelor. Dovada pentru toate rațiunile utilizează regula lanțului, iar pentru iraționali se folosește diferențierea implicită.

Explicaţie:

Acestea fiind spuse, le voi arăta tuturor aici, astfel încât să puteți înțelege procesul. Feriți-vă de asta #voi# să fie destul de lung.

Din #y = x ^ (n) #, dacă #n = 0 # noi avem #y = 1 # iar derivatul unei constante este zero.

Dacă # N # este orice alt număr pozitiv pe care îl putem arunca în formula derivată și folosim teorema binomică pentru a rezolva mizeria.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#i = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (k_i * x ^

Unde # # K_i este constantă corespunzătoare

#i = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i)

Împărțiți asta # H #

# i = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^

Putem scoate primul termen din sumă

# i = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2)

Luând limita, tot ceea ce rămâne în sumă ajunge la zero. calculat # # K_1 vedem că este egal # N #, asa de

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Pentru # N # care sunt numere negative negative, este un pic mai complicat. Știind că # x ^ -n = 1 / x ^ b #, astfel încât #b = -n # și, prin urmare, este pozitiv.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b)

# x = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h)

= x ^ b (x + h) ^ b (x) = x ^ b (x))) #

(i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Scoateți primul termen

(x-h) (x-h) (x-h) (x-h) ^ b)) #

Luați limita, Unde # K_1 = b #, înlocuindu-l înapoi # N #

(b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ #

Pentru raționamente trebuie să folosim regula lanțului..: adică (f (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Deci, știind asta # x ^ (1 / n) = rădăcină (n) (x) # și presupunând #n = 1 / b # noi avem

# (x ^ n) ^ b = x #

Dacă # B # este chiar, răspunsul este tehnic # | X | # dar acest lucru este suficient de aproape pentru scopurile noastre

Deci, folosind regula de lanț pe care o avem

(nx-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n-1) # #

Și nu în ultimul rând, folosind diferențierea implicită putem dovedi pentru toate numerele reale, inclusiv iraționalii.

#y = x ^ n #

# n (y) = n * ln (x) #

# y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #