Care este Raza Convergenței pentru această serie de putere? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Răspuns:

#abs z <1 #

Explicaţie:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) -1) ^ ^ kz k #

dar

# zum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo). Acum, luând în considerare #abs z <1 # noi avem

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # și

#int suma_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

acum a făcut înlocuirea #Z -> - z # noi avem

# -int suma_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log

deci este convergentă #abs z <1 #