Întrebarea # e8044

Răspuns:

#color (albastru) (int (1 / (1 + pat x)) dx =) #

#color (albastru) (1/2 * ln (tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 + K) #

Explicaţie:

De la dat #int (1 / (1 + pătuț x)) dx #

Dacă o integrand este o funcție rațională a funcțiilor trigonometrice, substituția # z = tan (x / 2) #, sau echivalentul acestuia

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # și #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # și

# Dx = (2dz) / (1 + z ^ 2) #

Soluția:

#int (1 / (1 + pătuț x)) dx #

#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #

#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #

(2z) / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) 2dz) / (1 + z ^ 2)) #

Simplifica

(2z) / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) 2dz) / (1 + z ^ 2)) #

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

În acest moment, folosiți fracțiunile parțiale apoi integrați-le

(zz + 2) + (Cz + D) / z (2 + 2) (z ^ 2-2z-1)) dz #

Facem mai întâi fracțiunile parțiale

(Zz + 2) / (z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = 2Z-1) #

# (- 4z) / ((z2 + 1)) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) +1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Extindeți partea dreaptă a ecuației

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# (Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Configurați ecuațiile

# (0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# ((A + C) * z ^ 3 + (- 2A + B + D) * z ^ 2 + (- A-2B + C) * z + (- B + D) * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Ecuațiile sunt

# A + C = 0 #

# -2A + B + D = 0 #

# -A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

Rezultatele soluției simultane la

# A = 1 # și # B = 1 # și # C = -1 # și # D = 1 #

Acum putem face integrarea

(zz + 2) + (Cz + D) / z (2 + 2) (z ^ 2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1)

# 2/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1)

= 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ 1z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1)

= 1/2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^

Vom reveni la variabila inițială #X# utilizând # z = tan (x / 2) # pentru răspunsul final.

#color (albastru) (int (1 / (1 + pat x)) dx =) #

#color (albastru) (1/2 * ln (tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 + K) #

Unde # K = # constantă a integrării

Dumnezeu să binecuvânteze … sper că explicația este utilă.