Ce este sqrt (3 + i) egal într-o formă + bi?

Răspuns:

(sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3)

Presupune # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Asadar, echivaland partile reale si imaginare pe care le primim:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

prin urmare #b = 1 / (2a) #, pe care le putem înlocui în prima ecuație pentru a obține:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2)

Multiplicați ambele capete prin # 4a ^ 2 # a obține:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Asa de:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Din formula patratică obținem:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 =

De cand #sqrt (10)> 3 #, alege #+# semn pentru a obține valori reale pentru #A#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) + 3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

Unde # B # are același semn ca #A# de cand #b = 1 / (2a) #

Rădăcina pătrată principală este în Q1 cu #a, b> 0 #

Acesta este:

(sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3)

De fapt, dacă #c, d> 0 # atunci putem arăta în mod similar:

1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2) i #