Cum să alegeți două numere pentru care suma rădăcinilor lor pătrate este minimă, știind că produsul celor două numere este a?

Răspuns:

# x = y = sqrt (a) #

Explicaţie:

# x * a = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "este minimă" #

# "Am putea lucra cu multiplicatorul Lagrange L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a)

# "Randamente derivate:" #

# df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x =

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x =

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(după înmulțirea cu x"! = "0)

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

(x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Acum trebuie să verificăm x = 0." #

# "Acest lucru este imposibil ca x * y = 0 atunci." #

# "Deci avem soluția unică" #

# x = y = sqrt (a) #

Răspuns:

Voi încerca să vă duc prin metoda de mai jos.

Explicaţie:

Ce căutăm?

Două numere. Să le dăm nume, #X# și # Y #.

Revedeți întrebarea.

Dorim ca suma rădăcinilor pătrate să fie minimă.

Acest lucru ne spune două lucruri

(1) ambele numere sunt non-negative (pentru a evita imaginare)

(2) Suntem interesați de valoarea # Sqrtx + sqrty #

Revedeți întrebarea.

De asemenea, ni se spune că produsul produsului #X# și # Y # este #A#.

Cine alege #A#?

În general, dacă un exercițiu spune ceva #A# sau # B # sau # C #, le luam ca pe constante date de altcineva.

Așadar, ni s-ar putea spune "produsul lui #X# și # Y # este #11#'

sau "produsul produsului #X# și # Y # este #124#'.

Trebuie să rezolvăm toate acestea imediat, spunând # Xy = o # pentru unele constante #A#.

Deci, vrem să facem # Sqrtx + sqrty # cât mai mică posibilă păstrare # Xy = o # pentru unele constante #A#.

Aceasta arata ca o problema de optimizare si este una. Deci, vreau o funcție a unei variabile pentru a minimiza.

# Sqrtx + sqrty # are două variabile, #X# și # Y #

# Xy = o # are de asemenea două variabile, #X# și # Y # (tine minte #A# este o constantă)

Asa de #y = a / x #

Acum vrem să minimalizăm:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Găsiți derivatul, apoi numărul (ele) critice și testați numărul (ele) critice. Terminați găsirea # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Critic # # Sqrta

#f '(x) <0 # pentru #x <sqrta # și #f '(x)> 0 # pentru #x> sqrta #, asa de #f (sqrta) # este un minim.

#x = sqrta # și #y = a / x = sqrta #

Răspuns:

# 2 rădăcină (4) (a) #

Explicaţie:

Știm asta pentru #x_i> 0 # noi avem

# (x_1 x_2 cdoturi x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdoturi + x_n}

atunci

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # atunci

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 rădăcină (4) (x_1x_2) #

dar # x_1x_2 = a # atunci

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 rădăcină (4) (a) #