Dovedeste ca daca u este un numar impare, atunci ecuatia x ^ 2 + x-u = 0 nu are nici o solutie care este un intreg?

Răspuns:

Sugestia 1: Să presupunem că el ecuația # x ^ 2 + x-u = 0 # cu # U # un număr întreg are o soluție integrată # N #. Arata asta # U # este chiar.

Explicaţie:

Dacă # N # este o soluție în care există un număr întreg # M # astfel încât

# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #

Unde #nm = u # și # m-n = 1 #

Dar a doua ecuație implică asta #m = n + 1 #

Acum, ambele # M # și # N # sunt numere întregi, deci unul # N #, # N + 1 # este chiar și #nm = u # este chiar.

Propoziție

Dacă # U # este un întreg ciudat, apoi ecuația # x ^ 2 + x - u = 0 # nu are o soluție care să fie un număr întreg.

dovadă

Să presupunem că există o soluție în întregime # M # din ecuația:

# x ^ 2 + x - u = 0 #

Unde # U # este un întreg ciudat. Trebuie să examinăm cele două cazuri posibile:

# M # este ciudat; sau

# M # este chiar.

În primul rând, să examinăm cazul în care # M # este ciudat, atunci există un număr întreg # # K astfel încât:

# m = 2k + 1 #

Acum, din moment # M # este o rădăcină a ecuației noastre, trebuie să fie că:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #

#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #

Și avem o contradicție # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # este chiar, dar # U # este ciudat.

Apoi, să luăm în considerare cazul în care # M # este chiar, atunci există un număr întreg # # K astfel încât:

# m = 2k #

În mod similar, deoarece # M # este o rădăcină a ecuației noastre, trebuie să fie că:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 2k #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #

Și, din nou, avem o contradicție # 2 (2k ^ 2 + k) # este chiar, dar # U # este ciudat.

Așa că am demonstrat că nu există o soluție în întregime a ecuației # x ^ 2 + x - u = 0 # Unde # U # este un întreg ciudat.

Prin urmare, propunerea este dovedită. QED

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Dacă # X ^ 2 + x-u = 0 # atunci

#X (x + 1) = u # atunci dacă #X# este un număr întreg, #X (x + 1) # este chiar, fiind o contradicție pentru că # U # prin ipoteză este ciudat.