Cum să răspundeți la aceste întrebări folosind intergrația?

Răspuns:

Zona este # = (32/3) u ^ 2 # și volumul este # = (512 / 15pi) u ^ 3 #

Explicaţie:

Începeți prin găsirea interceptului cu axa x

# Y = 4x-x ^ 2 = x (4x) = 0 #

Prin urmare, # X = 0 # și # X = 4 #

Zona este

# DA = ydx #

# A = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx #

# = 2x ^ 2-1 / 3x ^ 3 _0 ^ 4 #

#=32-64/3-0#

# = 32 / 3u ^ 2 #

Volumul este

# DV = piy ^ 2DX #

# V = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2DX #

# = Piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx #

# = Pi 16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5 _0 ^ 4 #

# = Pi (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) #

# = Pi (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) #

# = Pi (512/15) #

Răspuns:

A. #32/3#

b. # (512pi) / 15 #

Explicaţie:

În primul rând, trebuie să găsim punctele la care graficul traversează #X#-axă.

# 4x-x ^ 2 = x (4x) = 0 #

Fie # X = 0 # sau # 4-x = 0 #

# x = 0 sau 4 #

Acum știm limitele noastre superioare și inferioare.

A. # "Aria sub un grafic" = int_b ^ af (x) dx #

(4) - (2) - (2) - (2) - (2) 3/3) = 32/3 #

b. # "Volumul de rotație" = piint_b ^ a (f (x)) ^ 2dx #

#f (x) ^ 2 = (4x-x ^ 2) ^ 2 = 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4 #

# piint_0 ^ 4 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4dx = pi (16x3) / 3-2x ^ 4 + x ^ 5 /) / 3-2 (4) ^ 4 + 4 ^ 5/5) - ((16 (0) ^ 3) / 3-2 (0) ^ 4 + 0 ^ 5/5) = pi 512/15 = (512pi) / 15 #