Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Răspuns:

#(0,0)# este un punct de șa

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # și # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # sunt maxime locale

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # și # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # sunt minime locale

# (0, pm 1 / sqrt 2) # și # (pm 1 / sqrt 2,0) # sunt puncte de inflexiune.

Explicaţie:

Pentru o funcție generală #F (x, y) # cu un punct staționar la # (X_0, y_0) # avem expansiunea seriei Taylor

# F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y0) + 1 / (2) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + ldots #

Pentru funcția respectivă

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

noi avem

# (del f) / (del x) = ye ^ ^ -X ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x)

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (delf) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Este ușor de văzut că ambele primii derivați dispăreau la următoarele nivele

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Pentru a examina natura acestor puncte staționare, trebuie să ne uităm la comportamentul celor doi derivați de acolo.

Acum

# (del ^ 2f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

și în mod similar

# (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^

și

# (del ^ 2f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ x ^ 2-y ^ 2} #

# qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^

# qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Prin urmare #(0,0)# noi avem # (del ^ 2f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = 0 # și # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - de aici

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Dacă te apropii #(0,0)# de-a lungul liniei # X = y #, asta devine

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

Așadar #(0,0)# este evident un minim dacă vă apropiați de această direcție. Pe de altă parte, dacă vă apropiați de-a lungul liniei # X = -y # noi avem

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

Așadar #(0,0)# este un maxim în această direcție, Prin urmare #(0,0)# este a punctul de șa.

Pentru # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # este ușor de văzut asta

# (del ^ 2f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = -2e ^ și # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

ceea ce înseamnă că

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2)

Deci, funcția scade în funcție de modul în care vă îndepărtați # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # și acesta este a maxim local. Este ușor de văzut că același lucru este valabil # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (acest lucru ar fi trebuit să fie evident, deoarece funcția rămâne aceeași sub # (x, y) la (-x, -y) #!

Din nou, pentru ambele # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # și # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # noi avem

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = 2e ^ și # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Deci, ambele puncte sunt minime locale.

Cele patru puncte # (0, pm 1 / sqrt2) # și # (pm 1 / sqrt2, 0) # sunt mai problematice - deoarece toate derivatele de ordinul doi dispar în aceste puncte. Trebuie să examinăm acum derivatele de ordin superior. Din fericire, nu trebuie să lucrăm foarte mult pentru acest lucru - randamentele derivate foarte următorii

# (del ^ 3f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4)

care nu este zero pentru ambele # (0, pm 1 / sqrt2) # și # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Acum, asta înseamnă că, de exemplu

#f (0 + xi, 1 / sqrt2) = f (0,1 / sqrt2) +1/3 ((del ^ 3f) } xi ^ 3 + … #

care arată că acest lucru va crește de la # f (0,1 / sqrt 2) # într-o singură direcție, și să scadă de la celălalt. Prin urmare # (0,1 / sqrt2) # este un punct de inflexiune **. Același argument funcționează pentru celelalte trei puncte.