Demonstrați faptul că aria umbrită purpurie este egală cu aria incircle a triunghiului echilateral (cerc galben dungat)?

Răspuns:

Explicaţie:

Zona incircle este # Pir ^ 2 #.

Notând triunghiul drept cu hypotenuse # R # și piciorul # R # la baza triunghiului echilateral, prin trigonometrie sau proprietățile lui #30 -60 -90 # drepte triunghiuri putem stabili relația care # R = 2r #.

Rețineți că unghiul din față # R # este #30 # deoarece triunghiul echilateral #60 # unghiul a fost divizat.

Același triunghi poate fi rezolvat prin teorema pitagoreană pentru a arăta că jumătatea lungimii laterale a triunghiului echilateral este #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Acum examinând jumătate din triunghiul echilateral ca un triunghi drept, vedem că înălțimea # H # din triunghiul echilateral poate fi rezolvată în termeni de # R # folosind relația #tan (60) = h / (rsqrt3) #. De cand #tan (60) = sqrt3 #, asta devine # H / (rsqrt3) = sqrt3 # asa de # H = 3r #.

Apoi, zona triunghiului echilateral # 1 / 2BH #, și baza sa este # # 2rsqrt3 și înălțimea sa # # 3r. Astfel, zona sa este # 1. / 2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Zona regiunii umbrite mai mică este egală cu o treime din suprafața triunghiului echilateral minus incircle, sau #: 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # care este echivalentă cu # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Zona cercului mai mare este # Pir ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Zona regiunii mai umbrite este de o treime din suprafața cercului mai mare, minus zona triunghiului echilateral, sau #: 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # care simplifică să fie # R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Suprafața totală a zonei umbrite este apoi # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, care este echivalentă cu zona incircle.

Răspuns:

Explicaţie:

Pentru un triunghi echilateral centrul de greutate, centrul circumcircle și orthocenter coincid.

Astfel, raza cicumcirclei (R) și raza incircle (r) vor avea relația următoare

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Acum, din figura este evident că zonă a regiunii umbrite de culoare mov# = 1/3 alineatul (2 ^ Pir-Delta) #

Și zona de regiune Umbre MARE purpuriu# =: 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

Unde #Delta # reprezintă aria triunghiului echilateral.

Asa de

#color (purpuriu) ("Zona TOTAL a regiunii BIG și SMALL violet umbrită" #

# = 1/3 alineatul (2 ^ Pir-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# =: 1/3 (Pir ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Introducerea lui R = 2r

# =: 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# =: 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> culoare (portocaliu) "Zona de cerc galben dungi" #