Luați în considerare 3 cercuri egale de rază r într-un cerc dat de raza R fiecare pentru a atinge celelalte două și cercul dat așa cum este arătat în figura, atunci zona de regiune umbrită este egală cu?

Putem forma o expresie pentru zona regiunii umbrite, cum ar fi:

#A_ "shaded" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" #

Unde #A_ "centru" # este aria secțiunii mici dintre cele trei cercuri mai mici.

Pentru a găsi zona de acest fel, putem desena un triunghi conectând centrele celor trei cercuri albe mai mici. Deoarece fiecare cerc are o rază de # R #, lungimea fiecărei laturi a triunghiului este # # 2r iar triunghiul este echilateral, astfel încât să aibă unghiuri # 60 ^ o # fiecare.

Putem spune astfel că unghiul regiunii centrale este zona acestui triunghi minus cele trei sectoare ale cercului. Înălțimea triunghiului este pur și simplu #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, astfel încât zona triunghiului este # 1/2 * bază * înălțime = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Zona celor trei segmente ale cercului din acest triunghi este în esență aceeași zonă ca jumătate din una din cercuri (datorită unghiurilor de # 60 ^ o # fiecare, sau #1/6# un cerc, astfel încât putem deduce suprafața totală a acestor sectoare să fie # 1/2 pir ^ 2 #.

În cele din urmă, putem să stabilim zona zonei centrale #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2)

Astfel, revenind la expresia noastră originală, zona regiunii umbrită este

# Pir ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) pi / 2) #

Răspuns:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) -1) pi - sqrt (3)

Explicaţie:

Să dăm cercurilor albe o rază de # R = 1 #. Centrele formează un triunghi echilateral al laturii #2#. Fiecare mediană / altitudine este #sqrt {3} # astfel încât distanța de la un vârf la centroid este # 2/3 sqrt {3} #.

Centrodidul este centrul cercului mare, deci distanța dintre centrul cercului mare și centrul micului cerc. Adăugăm o mică rază de # R = 1 # a obține

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Zona căutată este zona cercului mai mare, mai puțin triunghiul echilateral și restul #5/6# din fiecare cerc mic.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r)

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Scarăm după # R ^ 2 # în general.