Care sunt maximele locale și minimele f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Răspuns:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Această funcție are o asimptote verticale la # X = 2 #, abordari #1# de sus, pe măsură ce x merge # + oo # (asimptote orizontale) și abordări #1# din partea de jos, pe măsură ce x merge # -oo #. Toate derivatele sunt nedefinite la # X = 2 # de asemenea. Există o minimă locală la # X = 0 #, # Y = 0 # (Toate necazurile pentru origine!)

Rețineți că ați putea dori să verificați matematica mea, chiar dacă cei mai buni dintre noi renunță la semnul negativ ciudat și aceasta este o întrebare lungă.

Explicaţie:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Această funcție are o asimptote verticale la # X = 2 #, deoarece numitorul este zero când # X = 2 #.

Se apropie #1# de sus, pe măsură ce x merge # + oo # (asimptote orizontale) și abordări #1# din partea de jos, pe măsură ce x merge # -oo #, deoarece pentru valori mari # X ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # cu # X ^ 2> (x-2) ^ 2 # pentru #X> 0 # și # X ^ 2 <(x-2) ^ 2 # pentru #X <0 #.

Pentru a găsi max / min, avem nevoie de primul și al doilea derivat.

(x2) / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2} Utilizați regula de coeficient!

(d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)) ^ 4}) #.

Folosind regula pentru puteri și regula de lanț obținem:

(x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 (x-2).

Acum ne înghesuim puțin …

(x-2) 4 (x-2) x 4 (x-2)

(d) (x) = dx (x) = dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x-2x ^ 3 + 4x ^

(d) (x) / dx = {4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Acum al doilea derivat, făcut ca primul.

(x-2) -4- (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x) -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

(x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x2) ^ * 1) } / (x-2) ^ 8 #

(x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x2) ^ * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Este urât, dar trebuie doar să conectăm și să notăm unde se comportă prost.

(d) (x) / dx = {4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Această funcție este nedefinită # X = 2 #, care asimptote, dar arata bine oriunde altundeva.

Vrem să știm că max / min sunt …

noi am stabilit # {d f (x)} / dx = 0 #

# {4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # acest lucru este zero când numărul este zero și dacă numitorul nu este.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # sau # 4x (2-x) = 0 # Aceasta este zero la # X = 0 # și # X = 2 #, dar nu putem avea un maxim / min au fost derivate / funcție sunt nedefinite, astfel încât singura posibilitate este # X = 0 #.

"al doilea test derivat"

Acum ne uităm la cel de-al doilea derivat, urât așa cum este …

(x-2) ^ 4 - (4x ^ 2 + 8x) (4 (x2) ^ 3) (x-2) ^ 8 #

Ca și funcția și primul derivat, acest lucru este nedefinit # X = 2 #, dar arata bine peste tot.

Conectăm # X = 0 # în {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, nu este zero un astfel de număr minunat să-l conectați?

#=128/256# toate pentru asta #1/2#

#1/2 >0# asa de # X = 0 # este o minimă locală.

Pentru a găsi valoarea y trebuie să-l conectăm la funcție.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Originea!