Cum găsiți vârful unei ecuații patrate?

Răspuns:

Utilizați formula # -B / (2a) # pentru coordonata x și apoi conectați-o pentru a găsi y.

Explicaţie:

O ecuație patratică este scrisă ca # Ax ^ 2 + bx + c # în forma sa standard. Iar punctul poate fi găsit folosind formula # -B / (2a) #.

De exemplu, sa presupunem ca problema noastra este de a afla vertexul (x, y) al ecuatiei patrate # X ^ 2 + 2x-3 #.

1) Evaluați valorile dvs. a, b și c. În acest exemplu, a = 1, b = 2 și c = -3

2) Introduceți valorile în formula # -B / (2a) #. Pentru acest exemplu, veți obține #-2/(2*1)# care poate fi simplificată la -1.

3) Tocmai ați găsit coordonatele x ale vertexului! Acum introduceți -1 pentru x în ecuație pentru a afla coordonatul y.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) După simplificarea ecuației de mai sus primiți: 1-2-3 care este egală cu -4.

6) Răspunsul dvs. final este (-1, -4)!

Sper că a ajutat.

Răspuns:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # are un vârf la # (- (b) / (2a), - (b ^ 2-4ac) / (4a)) #

Explicaţie:

Luați în considerare o expresie generală triunghiulară:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

și ecuația asociată acesteia #f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Cu rădăcini, #alfa# și # # Beta.

Știm (prin simetrie - vezi mai jos pentru dovadă) că vârful (fie maxim sau minim) este punctul central al celor două rădăcini, #X#-coordonatorul vârfului este:

# x_1 = (alfa + beta) / 2 #

Cu toate acestea, amintiți-vă proprietățile bine studiate:

#:: ("suma rădăcinilor", = alpha + beta, = -b / a), ("produsul rădăcinilor", = alfa beta, = c / a)

Prin urmare:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Dându-ne:

(b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

b 2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# - - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

Prin urmare:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # are un vârf la # (- (b) / (2a), - (b ^ 2-4ac) / (4a)) #

Dovada punctului intermediar:

Daca avem

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Apoi, diferențierea wrt #X#:

# f '(x) = 2ax + b #

La un punct critic, primul derivat, #f '(x) # dispare, ceea ce impune:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # QED