Cum găsiți polinomul Taylor de gradul al treilea pentru f (x) = ln x, centrat la a = 2?

Răspuns:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Explicaţie:

Forma generală a unei extinderi Taylor centrate pe #A# a unei funcții analitice # F # este #f (x) = sum_ {n = 0} ^ ăă ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Aici #f ^ ((n)) # este derivatul n-a # F #.

Polinomul Taylor de gradul al treilea este un polinom constând din primele patru (# N # variind de la #0# la #3#) termeni de expansiune completă Taylor.

Prin urmare, acest polinom este #f (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #, prin urmare #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Deci polinomul Taylor de gradul al treilea este:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Acum avem # A = 2 #, deci avem polinomul:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.