Rezultă matematic rădăcinile culorii (alb) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Răspuns:

# x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) pentru #n = 0, 1, 2 #

Explicaţie:

Dat:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Înlocuirea trigonometrică

Deoarece acest cubic are #3# adevărate zerouri, metoda Cardano va avea ca rezultat expresii care implică rădăcini ireductibile de cub de numere complexe. Metoda lui Cardano nu este greșită, dar nu este foarte prietenoasă, cu excepția cazului în care rădăcinile cubului au o formă simplă.

Ca alternativă în astfel de cazuri, aș alege să folosesc o substituție trigonometrică.

Lăsa:

#x = k cos theta #

Trucul este de a alege # # K astfel încât expresia rezultată să conțină # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Noi avem:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (alb) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (alb) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (alb) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 " cu # K = 2 #

#color (alb) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Asa de:

#cos 3 theta = 1/2 #

Asa de:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # pentru orice număr întreg # N #

Asa de:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # pentru orice număr întreg # N #

Acest lucru va da #3# valori diferite posibile ale #x = k cos theta #…

# x = 2 cos cos = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) pentru #n = 0, 1, 2 #.