Un cerc are un centru care cade pe linia y = 7 / 2x +3 și trece prin (1, 2) și (8, 1). Care este ecuația cercului?

Răspuns:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Explicaţie:

Punctul A #(1,2)# și punctul B #(8,1)# trebuie să fie aceeași distanță (o rază) față de centrul cercului

Aceasta se află pe linia punctelor (L) care sunt toate echidistant de la A și B

formula pentru calcularea distanței (d) între două puncte (de la pythagorus) este # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y2-y_1) ^ 2 #

înlocuim în ceea ce știm pentru punctul A și un punct arbitrar cu privire la L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

înlocuim în ceea ce știm pentru punctul B și un punct arbitrar cu privire la L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Prin urmare

(x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1)

Extindeți parantezele

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^

Simplifica

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

punctul central se află pe linie #y = 7x - 30 # (setul de puncte echidistant de la A și B)

și pe linie # y = 7x / 2 + 3 # (dat)

rezolva unde aceste două linii traversează pentru a găsi centrul cercului

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

# x = 66/7 #

substitui în # y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Centrul cercului este la #(66/7, 36)#

raza pătrată a cercului poate fi acum calculată ca

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Formula generală pentru un cerc sau o rază # R # este

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # cu centrul la h, k

Știm acum # H #, # # K și # R ^ 2 # și le poate înlocui în ecuația generală a cercului

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

extindeți parantezele

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

și simplifica

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #