Răspuns:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
Explicaţie:
Întrucât numitorul este deja luat în considerare, tot ceea ce trebuie să facem fracțiuni parțiale este rezolvarea constantelor:
# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #
Rețineți că avem nevoie de ambele #X# și un termen constant în cea mai mare parte din stânga, deoarece numărul este întotdeauna cu un grad mai mic decât numitorul.
Am putea să înmulțim prin numitorul din partea stângă, dar asta ar fi o mare cantitate de muncă, astfel încât să putem fi inteligenți și să folosim metoda de acoperire.
Nu voi trece procesul în detaliu, dar, în esență, ceea ce facem este să aflăm care face numitorul egal cu zero (în cazul # # C este # X = 3 #) și conectându-l în partea stângă și evaluând în timp ce acoperă factorul corespunzător constantei, aceasta dă:
# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (text (////)) (3-7)) = - 6/11 #
Putem face același lucru și pentru # D #:
# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (text (////))) = 35/51 #
Metoda de acoperire funcționează doar pentru factori liniari, deci suntem forțați să rezolvăm problema #A# și # B # folosind metoda tradițională și multiplicând prin numitorul din stânga:
# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #
Dacă se multiplică prin toate parantezele și se echivă toți coeficienții diferitelor #X# și termeni constanți, putem afla valorile #A# și # B #. Este un calcul destul de lung, așa că voi lăsa o legătură pentru oricine este interesat:
Click aici
# A = -79/561 #
# B = -94/561 #
Acest lucru ne dă faptul că integrarea noastră este:
(xx) = 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)
Primele două pot fi rezolvate utilizând u-substituții destul de simple ale numitorilor:
(X2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx # x / 7 |
Putem împărți integralele rămase în două:
nx int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) 2 + 2) dx #
Voi numi cel stânga Integral 1 și cel integru drept Integral 2.
Integral 1
Putem rezolva acest integrat printr-o substituție u # U = x ^ 2 + 2 #. Derivatul este # 2x #, deci ne împărțim # 2x # să se integreze cu privire la # U #:
# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int anulare (x) / (2cancel (x) = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #
Integral 2
Vrem să obținem acest integral în formă # Tan ^ -1 #:
#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
Dacă introducem o înlocuire cu # X = sqrt2u #, vom putea transforma integralele noastre în această formă. Integrarea cu privire la # U #, trebuie să înmulțim cu # # Sqrt2 (din moment ce am luat derivatul cu privire la # U # in loc de #X#):
# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2)
# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1)
# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #
Finalizarea integralului original
Acum, că știm ce înseamnă Integral 1 și Integral 2, putem completa integralul original pentru a obține răspunsul nostru final:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
