Cum dovediti (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Răspuns:

Utilizați câteva identități și simplificați. Vezi mai jos.

Explicaţie:

Cred că există o greșeală în această întrebare, dar nu e mare lucru. Pentru a avea sens, întrebarea ar trebui să fie:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx-tanx) ^ 2 #

Oricum, începem cu această expresie:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Atunci când se demonstrează identități de tip trig, este în general mai bine să lucrezi pe partea care are o fracțiune).

Să folosim un truc pur numit înmulțire conjugată, în care multiplicăm fracțiunea cu numitorul conjuga:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Conjugatul lui # A + b # este # A-b #, astfel încât conjugatul lui # 1 + # sinx este # 1 # sinx; ne multiplicăm prin # (1-sinx) / (1-sinx) # pentru a echilibra fracțiunea.

Rețineți că # (1 + sinx) (1-sinx) # este de fapt o diferență de pătrate, care are proprietatea:

# (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Aici vedem asta # A = 1 # și # B = sinx #, asa de:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Din Identitatea Pitagora # Păcat ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, rezultă că (după scăderea # Păcat ^ 2x # ambele părți), # Cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, am plecat de la # (1-sinx) / (1-sinx) # la # 1-sin ^ 2x # la # cos ^ 2x #! Problema noastră arată acum:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Să extindeți numărul de numerar:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Tine minte: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Acum, vom rupe fracțiunile:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Cum să simplificați acea ? Ei bine, amintiți-vă când am spus "Amintiți-vă: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Se pare că # Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # este defapt # (Secx-tanx) ^ 2 #. Dacă lăsăm # A = secx # și # B = tanx #, putem observa că această expresie este:

#underbrace ((a) ^ 2)-_secx 2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Care, după cum tocmai am spus, echivalează cu # (A-b) ^ 2 #. A inlocui #A# cu # # Secx și # B # cu # # Tanx și veți obține:

# Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Și am terminat proodul:

# (Secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #