Care sunt extremele f (x) = 3x-1 / sinx pe [pi / 2, (3pi) / 4]?

Răspuns:

Minimul absolut al domeniului are loc la aprox. # (pi / 2, 3,7124) #, iar valoarea maximă a domeniului apare la aprox. # (3pi / 4, 5.6544) #. Nu există extreme extreme.

Explicaţie:

Înainte de a începe, ne face să analizăm și să vedem dacă #sin x # are o valoare de #0# în orice moment al intervalului. #sin x # este zero pentru toate x astfel încât #x = npi #. # Pi / 2 # și # 3pi / 4 # sunt ambele mai mici decât # Pi # și mai mare decât # 0pi = 0 #; prin urmare, #sin x # nu ia o valoare de zero aici.

Pentru a determina acest lucru, amintiți-vă că o extremă apare oriunde #f '(x) = 0 # (puncte critice) sau la unul dintre obiectivele finale. În acest sens, luăm derivatul f (x) de mai sus și găsim puncte în care acest derivat este egal cu 0

(dx) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x)

Cum ar trebui să rezolvăm acest ultim termen?

Luați în considerare pe scurt regulă reciprocă, care a fost dezvoltat pentru a face față unor situații precum ultimul nostru termen, # d / (dx) (1 / sin x) #. Regula reciprocă ne permite să ocolim direct folosind regula lanțului sau coeficientului, afirmând că având o funcție diferențiabilă #G (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g)

cand #g (x)! = 0 #

Revenind la ecuația noastră principală, ne-am oprit;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

De cand #sin (x) # este diferențiat, putem aplica regula reciprocă aici:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Dacă setăm această valoare la 0, ajungem la:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Acest lucru se poate întâmpla numai când #cos x / sin ^ 2 x = -3 #. De aici este posibil să folosim una dintre definițiile trigonometrice, în mod specific # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x =

Acest lucru seamănă cu un polinom, cu #cos x # înlocuind tradiționalul x. Astfel, noi declarăm #cos x = u # și…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Folosind formulele patrate aici …

(1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Rădăcinile noastre apar la #u = (1 + -sqrt37) / 6 # în conformitate cu aceasta. Cu toate acestea, una dintre aceste rădăcini (# (1 + sqrt37) / 6 #) nu poate fi o rădăcină pentru #cos x # deoarece rădăcina este mai mare decât 1 și # -1 <= cosx <= 1 # pentru toate x. A doua noastră rădăcină, pe de altă parte, calculează aproximativ #-.847127#. Cu toate acestea, aceasta este mai mică decât valoarea minimă #cos x # funcția poate la interval (de la #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -707 <-847127 #. Prin urmare, nu există nici un punct critic în domeniu.

În acest sens, trebuie să ne întoarcem la obiectivele noastre și să le punem în funcția inițială. Facând astfel, obținem # f (pi / 2) aproximativ 3,7124, f (3pi / 4) aproximativ 5,6544 #

Astfel, minimul nostru absolut pe domeniu este aproximativ # (pi / 2, 3,7124), # iar maximul nostru este aproximativ # (3pi / 4, 5.6544) #