Fie phi_n eigenfuncția n-a normală a energiei normale a oscilatorului armonic, și let psi = hatahata ^ (†) phi_n. Cu ce sunt psi?

Luați în considerare oscilatorul armonic Hamiltonian …

#hatH = hatp ^ 2 / (2mu) + 1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2 #

# = 1 / (2 um) (hatp ^ 2 + mu ^ 2omega ^ 2 hatx ^ 2) #

Acum, definiți substituția:

#hatx "'" = hatxsqrt (muomega) ##' '' '' '##hatp "'" = hatp / sqrt (muomega) #

Asta da:

(2m) (hatp '' '^ 2 cdot muomega + mu ^ 2omega ^ 2 (hatx' '' ^ 2) / (muomega)) #

# = omega / 2 (hatp "'" ^ 2 + hatx "" ^ 2) #

Apoi, luați în considerare substituția în care:

#hatx "'" "= (hatx"' ") / sqrt (ℏ) ##' '' '' '##hatp "'" "= (hatp"' ") / sqrt (ℏ) #

astfel încât # hatx "" ", hatp" '" = hatx" "" hatp "" hatp hatx ". Asta da:

#hatH = omega / 2 (hatp "" "^ 2cdotℏ + hatx" "" ^ 2cdotℏ) #

# = 1 / 2ℏomega (hatp "" "^ 2 + hatx" '"^ 2) #

De cand #hatp " ''" ^ 2 # și #hatx " ''" ^ 2 # poate fi inclus într-un produs de conjugate complexe, să definească operatorii scării

#hata = (hatx "" "+ ihatp" '") / sqrt2 ##' '' '' '## hata ^ (†) = (hatx "" "- ihatp" '") / sqrt2 #

astfel încât:

# hatahata ^ (†) = (hatx "" "^ 2 - ihatx" "" hatp "" "+ ihatp" "" hatx "

1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 2 1

De cand # - hatx "" ", hatp" '" = hatp", termenul din dreapta este #1/2#. Prin inspecție,

#hatH = ℏomega (hatahata ^ (†) - 1/2) #

Se poate demonstra acest lucru # hata, hata ^ (†) = 1 #, asa de

# hatahata ^ (†) - hata ^ (†) hata = 1 #

# hatahata ^ (†) = 1 + hata ^ (†) hata #

Așadar:

#color (verde) (hatH = ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2)) #

Aici recunoaștem forma energie a fi:

#E_n = ℏomega (n + 1/2) #

din moment ce este clar din această formă că cu

#hatHphi_n = Ephi_n #,

avem doar asta

# ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2) phi_n = ℏomega (n + 1/2) phi_n #

Astfel, operatorul numărului pot fi definite ca:

#hatN = hata ^ (†) hata #

a cărui valoare personală este numărul cuantic # N # pentru acel eigenstate.

Prin urmare,

#color (albastru) (psi_n = hatahata ^ (†) phi_n) #

# = (1 + hata ^ (†) hata) phi_n #

# = (1 + hatN) phi_n #

# = culoare (albastru) ((1 + n) phi_n) #