Fără grafic, cum decid dacă următorul sistem de ecuații liniare are o soluție, infinit de multe soluții sau fără soluție?

Răspuns:

Un sistem de # N # ecuații liniare cu # N # variabile necunoscute care nu conțin dependență liniară între ecuații (cu alte cuvinte, ei determinant este non-zero) va avea una și singura soluție.

Explicaţie:

Să considerăm un sistem de două ecuații liniare cu două variabile necunoscute:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Dacă pereche # (A, B) # nu este proporțională cu perechea # (D, E) # (adică nu există un astfel de număr # # K acea # D = kA # și # E = kB #, care pot fi verificate în funcție de condiție # A * E-B * D! = 0 #), atunci există o singură soluție:

# X = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # Y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Exemplu:

# X + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Soluţie:

# X = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# Y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Dacă pereche # (A, B) # este proporțională cu perechea # (D, E) # (ceea ce înseamnă că există un astfel de număr # # K acea # D = kA # și # E = kB #, care pot fi verificate de o condiție # A * E-B * D = 0 #), există două cazuri:

(a) numărul infinit de soluții dacă # # C și # F # sunt proporționale cu același coeficient ca #A# și # D #, acesta este # F = kC #, Unde # # K este același coeficient de proporționalitate;

Exemplu:

# X + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Aici # K = 2 # pentru toate perechile: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

A doua ecuație este o consecință trivială a primei (doar se înmulțește prima ecuație cu #2#) și, prin urmare, nu oferă informații suplimentare despre necunoscut, reducând efectiv numărul de ecuații la 1.

(b) nici o soluție, dacă #F! = KC #

Exemplu:

# X + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

În acest caz, ecuațiile se contrazic reciproc deoarece, prin înmulțirea primului cu 2, derivăm în ecuație # 2x + 8y = 6 #, care nu pot avea o soluție comună # 2x + 8y = 5 # deoarece părțile din stânga ale acestor două ecuații sunt egale, dar părțile drepte nu sunt.