Ce este ortocentrul unui triunghi cu colțuri la (4, 7), (8, 2) și (5, 6) #?

Răspuns:

Orthocenter coordonează #color (roșu) (O (40, 34) #

Explicaţie:

Înclinarea segmentului de linie BC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

Pantă de #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Ecuația de altitudine care trece prin A și perpendiculară pe BC

# y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

Înclinarea segmentului de linie AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

Înclinarea altitudinii BE este perpendiculară pe BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

Ecuația de altitudine care trece prin B și perpendiculară pe AC

# y - 2 = 1 * (x - 8) #

# y - x = -6 # Eqn (2)

Rezolvarea Eqns (1), (2) ajungem la coordonatele orthocenterului O

# x = 40, y = 34 #

Coordonatele orthocenterului # O (40, 34) #

Verificare:

Pantă de #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

Ecuația de altitudine CF

# y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Eqn (3)

Orthocenter coordonează # O (40, 34) #

Răspuns:

Orthocenter: #(40,34)#

Explicaţie:

Am elaborat cazul semi-general aici. (Http://socratic.org/questions/what-is-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -și-2-8)

Concluzia este ortocentrul triunghiului cu vârfuri # (A, b), # #(CD)# și #(0,0)# este

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c)

Să o testați aplicând-o la acest triunghi și comparând rezultatul cu celălalt răspuns.

Mai întâi traducem (5, 6) originea, dând celelalte două noduri traduse:

# (A, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, -4) #

Aplicăm formula în spațiul tradus:

(x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4)) = (35,28) #

Acum traducem înapoi pentru rezultatul nostru:

Orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

Asta se potrivește cu celălalt răspuns!