Întrebarea nr. 242a2

Răspuns:

Pentru energia stocată în condensator la timp # T # noi avem #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # Unde #E (0) # este energia inițială, # # C capacitatea și # R # rezistența firului care leagă cele două laturi ale condensatorului.

Explicaţie:

Să examinăm mai întâi câteva concepte de bază înainte de a răspunde la această întrebare. Desigur, trebuie să cunoaștem energia stocată în condensator sau mai degrabă energia stocată în câmpul electric creată de încărcătura stocată în condensator. Pentru aceasta avem formula # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # cu # # C capacitatea condensatorului și # Q # încărcătura stocată pe una din plăcile de condensatoare. 1

Deci, pentru a ști cum scade energia, trebuie să știm cum scade sarcina. Pentru aceasta, există câteva lucruri pe care ar trebui să le ținem cont. Primul lucru este că taxa poate scădea numai dacă poate merge oriunde. Cel mai simplu scenariu este acela că cele două plăci sunt conectate printr-un cablu, astfel încât plăcile să poată schimba încărcarea astfel încât să devină neutre. Cel de-al doilea lucru este că, dacă am presupune că firul nu are rezistență, sarcina ar putea să se miște instantaneu, astfel că energia va scădea la zero și la acea rată. Deoarece aceasta este o situație plictisitoare și, pe lângă faptul că nu este într-adevăr realistă, presupunem că firul are rezistență # R #, pe care le putem modela conectând plăcile condensatoarelor printr-un rezistor cu rezistență # R # folosind cabluri rezistente.

Ceea ce avem acum este un așa-numit RC-circuit, văzut mai jos. Pentru a afla cum se modifică încărcarea stocată, trebuie să notăm o ecuație diferențială. Nu știu cât de priceput este cititorul în matematică, așa că anunțați-ne dacă următoarea secțiune nu este clară pentru dvs. și voi încerca să o explic mai detaliat.

Mai întâi de toate, observăm că, atunci când mergem de-a lungul firului, experimentăm două potențiale electrice (tensiune), și anume la condensator și la rezistor. Aceste sare sunt date de # DeltaV_C = Q / C # și # DeltaV_R = IR # respectiv 1. Observăm că inițial nu există curent, deci diferența potențială față de rezistor este 0, totuși, după cum vom vedea, va exista un curent când încărcăturile încep să se miște. Acum observăm că atunci când vom merge în jurul circuitului începând de la un punct, vom ajunge în același punct din nou, pentru că suntem într-un circuit. În acest punct unic, potențialul este același de două ori, pentru că este același punct. (Când spun că mergem de-a lungul circuitului, nu vreau să spun acest lucru literal, mai degrabă am verifica saltul de tensiune pe circuit într-un moment dat, astfel că nu trece timpul când mergem pe circuit, deci argumentul este valabil, chiar dacă tensiunea se schimbă în timp.)

Aceasta înseamnă că saltul potențial total este zero. Asa de # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Acum ne gândim la ce # I #, curentul este. Curentul este încărcat în mișcare, este nevoie de încărcare pozitivă departe de o placă de condensator și se livrează la celălalt. (De fapt, de cele mai multe ori este invers, dar nu contează pentru matematica acestei probleme.) Aceasta înseamnă că curentul este egal cu schimbarea încărcării pe plăci, cu alte cuvinte # I = (dQ) / dt #. Înlocuirea acestei în ecuația de mai sus ne dă # (DQ) / DTR + Q / C = 0 #, care înseamnă # (DQ) / dt = -Q / (CR) #. Aceasta este o așa-numită ecuație diferențială liniară de ordinul întâi. Aceasta dictează schimbarea taxei cu valoarea taxei la acea dată într-un mod liniar, ceea ce înseamnă că dacă taxa ar fi de două ori mai mare, schimbarea taxei ar fi de două ori mai mare. Putem rezolva această ecuație prin folosirea inteligentă a calculului.

# (DQ) / dt = -Q / (CR) #, presupunem # # Qne0, care nu este inițial și cum se va dovedi, nu va fi niciodată. Folosind acest lucru putem spune # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Să știi # Q # la un moment dat # T # (cu alte cuvinte #Q (t) #, integram ecuația după cum urmează: # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t1 / (CR) dt '= - t / (CR) # de cand # # C și # R # sunt constante. # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # prin schimbarea variabilelor. Asta înseamnă #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, asa de #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

În cele din urmă trebuie să înlocuim acest lucru în ecuația energiei:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Deci, energia cade exponențial în timp. Într-adevăr vedem că dacă # R # trebuiau să meargă la zero, #E (t) # ar merge instantaneu la 0.

1 Griffiths, David J. Introducere în electrodinamica. A patra editie. Pearson Education Limited, 2014