Cum este substituția trigonometrică diferită de substituția u?

Răspuns:

În general, substituția trig este folosită pentru integralele formularului # X ^ 2 + -a ^ 2 # sau #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, in timp ce # U #- substituția este utilizată atunci când o funcție și derivatul său apar în integral.

Explicaţie:

Am găsit ambele tipuri de substituții foarte fascinante din cauza raționamentului din spatele lor. Luați în considerare, în primul rând, substituția trig. Acest lucru rezultă din teorema pitagoreană și identitățile pitagoreene, probabil cele două concepte cele mai importante din trigonometrie. Folosim acest lucru atunci când avem ceva de genul:

# X ^ 2 + a ^ 2 -> # Unde #A# este constantă

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # din nou presupunând #A# este constantă

Putem vedea că aceste două arăta grozav # A ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, care este Teorema Pitagora. El leagă cele două laturi ale unui triunghi drept în ipoteza triunghiului. Dacă tragem acest lucru, putem vedea că da, # X ^ 2 + o ^ 2 # pot fi reprezentate cu un triunghi:

Imaginea este foarte utilă, pentru că ne spune # Tantheta = x / a #, sau # Atantheta = x #; aceasta constituie baza substituției trig. În plus (și aici devine minunat), atunci când îl înlocuiți # x = tantheta # în # X ^ 2 + o ^ 2 #, veți ajunge la o Identitate Pitagora, în acest caz # Tan ^ 2teta + 1 = sec ^ 2teta #. Puteți face apoi simplificări # Sec ^ 2teta # dacă aveți nevoie, iar integrarea este ușor acolo afară. Același lucru este valabil și pentru cazuri # X ^ 2-a ^ 2 #, # A ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, și #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Puteți utiliza subpagini. pentru o mulțime de probleme, dar puteți folosi # U #- substituiție, cu siguranță, chiar mai mult. Folosim această tehnică când avem ceva de genul # Intlnx / XDX #. Dacă observăm, vedem că avem două funcții - # # LNX și # 1 / x #. Și dacă ne amintim de produsele derivate de bază, știm # D / dxlnx = 1 / x # pentru #X> 0 # (sau # D / dxlnabs (x) = 1 / x # pentru # ori! = 0 #). Deci, ideea este de a spune să lăsați # U = LNX #; atunci # (Du) / dx = 1 / x # și # Du = dx / x #. Problema, după ce a făcut aceste substituții, se simplifică # # Intudu - un element mult mai ușor decât înainte.

În timp ce aceste două tehnici pot fi diferite, ambele servesc aceluiași scop: de a reduce un element integral într-o formă mai simplă, astfel încât să putem folosi tehnicile de bază. Sunt sigur că explicația mea nu este suficientă pentru a include toate detaliile specifice despre aceste substituții, așa că invit pe alții să contribuie.