Cum integrați int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx folosind substituția trigonometrică?

Răspuns:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + (e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Explicaţie:

Soluția este puțin lungă !!!

De la dat #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / (sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) * dx #

Luați act de asta # I = sqrt (-1) # numărul imaginar

Anulați acest număr complex pentru o perioadă și treceți la integrale

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) * dx #

prin completarea pătratului și efectuarea unor grupări:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Prima substituție trigonometrică: ##

Unghiul acut # W # cu fața opusă # = E ^ x + 10 # și partea adiacentă #=1# cu hypotenuse =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Lăsa # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

și apoi

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Integolul devine

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (bronzul w-10) #

din trigonometrie # sec w = 1 / cos w # și # t w = sin w / cos w #

Integolul devine

#int (1 / cos w * dw) / (păcat w / cos w-10) # și

#int (dw) / (păcatul w-10 cos w) #

Al doilea substituție trigonometrică:

Lăsa # w = 2 tan ^ 1 z #

# Dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

Si deasemenea # z = tan (w / 2) #

Triunghiul drept: unghiul ascuțit # W / 2 # cu partea opusă # = z #

Partea adiacentă #=1# și hypotenuse # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Din trigonometrie: Reamintind formulele cu jumătate de unghi

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

rezolvarea pentru #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Utilizarea identității #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

rezultă că

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

integralul devine

(1 2 z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) 2) / (1 + z ^ 2)) #

Simplificarea rezultatelor integrale la

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Completând pătratul:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Utilizați acum formula # (d) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a)

Lăsa # U = z + 1/10 # și # A = sqrt101 / 10 # și include înapoi # I = sqrt (-1) #

Scrieți răspunsul final folosind variabilele originale

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + (e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #