Care este cea mai mare: 1000 ^ (1000) sau 1001 ^ (999)?

Răspuns:

#1000^1000 > 1001^999#

Explicaţie:

Luând în considerare ecuația

# 1000 ^ 1000 = 1001 ^ x #

dacă #x> 999 #

atunci

#1000^1000 > 1001^999#

altfel

#1000^1000 < 1001^999#

Aplicarea transformării jurnalului la ambele părți.

# 1000 log 1000 = x log 1001 #

dar

#log 1001 = log1000 + 1 / 1000xx1-1 / (2!) 1/1000 ^ 2xx1 ^ 2 + 2 / (3!) 1/1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdot + 1 / dx) log x) _ (x = 1000) 1 ^ n #.

Această serie este alternativă și rapid convergentă astfel

# log1001 aproximativ log1000 + 1/1000 #

Înlocuirea în

# x = 1000 log1000 / (log1000 + 1/1000) = 1000 (3000/3001) #

dar #3000/3001 = 0.999667# asa de

# x = 999,667> 999 # atunci

#1000^1000 > 1001^999#

Răspuns:

Iată o soluție alternativă care utilizează teorema binomică pentru a dovedi:

#1001^999 < 1000^1000#

Explicaţie:

Prin teorema binomică:

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

# 1 / (0!) + 1 / (1) + 1 / (2!) + 1 / (3!) + … = e ~

Asa de:

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

#color (alb) (1001 ^ 999) = (1 + 1/1000) ^ 999 * 1000 ^ 999 #

#color (alb) (1001 ^ 999) <e * 1000 ^ 999 <1000 * 1000 ^ 999 = 1000 ^ 1000 #

Răspuns:

#1000^1000 > 1001^999#

Explicaţie:

#Utilizați log 1000 = log 10 ^ 3 = 3 și log 1001 = 3.0004340 …

Aici, logaritmii celor doi sunt

#log (1000 ^ 1000) = 1000 log1000 = (1000) (3) = 3000 # și

#log 1001 ^ 999 = (999) (3.0004340 …) = 2997,4 #…

Deoarece log este o funcție în creștere, #1000^1000 > 1001^999#.