Cum găsiți asimptotele pentru y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Răspuns:

Vertical

# X = 1 #

# X = 3 #

Orizontală

# X = 1 # (pentru amandoi # + - oo #)

Oblic

Nu există

Explicaţie:

Lăsa # Y = f (x) #

• Asimptote verticale

Găsiți limitele funcției deoarece tinde spre limitele domeniului său, cu excepția infinitului. Dacă rezultatul lor este infinit, atunci #X# line este o asimptote. Aici, domeniul este:

#x în (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Deci, 4 posibil asimptotele verticale sunt:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asimptotă # X-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Asimptote verticale pentru # X = 1 #

Notă: pentru # x-1 # de cand #X# este ușor mai mică decât 1 rezultatul va fi ceva mai mic decât 0, deci semnul va fi negativ, prin urmare nota #0^-# care mai târziu se traduce la un semn negativ.

Confirmare pentru asimptote # X-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -OO # Confirmat

Asimptotă # X-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - ^ 2 3 / (2 * 0) = - 9/0 = -OO # Asimptote verticale pentru # X = 3 #

Confirmare pentru asimptote # X-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 2 ^ 3 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Confirmat

• Asimptote orizontale

Aflați ambele limite pe măsură ce funcția tinde să # + - oo #

Minus infinit #X -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (anula (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (anula (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asimptote orizontale pentru # Y = 1 #

Plus infinit #X -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (anula (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (anula (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asimptote orizontale pentru # Y = 1 #

Notă: se întâmplă ca această funcție să aibă o orizontală comună pentru ambele # # -OO și # + Oo #. Ar trebui să verificați întotdeauna ambele.

• Asimptote oblice

Mai întâi trebuie să găsiți ambele limite:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Pentru fiecare, dacă această limită este un număr real, atunci asimptotul există și limita este pantă. # Y # interceptarea fiecăruia este limita:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Cu toate acestea, pentru a ne salva problemele, puteți utiliza o anumită funcție "cunoaștere" pentru a evita acest lucru. Din moment ce știm #f (x) # are asimptote orizontale pentru ambele # + - oo # singura modalitate de a avea o oblică are o altă linie ca #X -> + - oo #. In orice caz, #f (x) # este a #1-1# astfel încât nu pot exista două # Y # valori pentru unul #X#, prin urmare oa doua linie este imposibilă, deci este imposibil să ai asimptote oblice.