Cum găsiți o funcție triunghiulară f (x) = ax2 + bx + c valoarea minimă dată -4 atunci când x = 3; un zero este de 6?

Răspuns:

# f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Funcțiile quadratice sunt simetrice cu privire la linia lor de vârfuri, adică la x = 3, astfel încât aceasta implică cealaltă zero va fi la x = 0.

Știm că vârful are loc la x = 3, astfel încât primul derivat al funcției evaluate la x = 3 va fi zero.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

De asemenea, cunoaștem valoarea funcției însăși la x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Avem două ecuații, dar trei necunoscute, deci avem nevoie de o altă ecuație. Uită-te la zero cunoscut:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Avem acum un sistem de ecuații:

# ((6,1,0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = (0)) #

Pentru a citi soluțiile dorim să reducem matricea coeficienților la forma eșalon redusă folosind operațiuni elementare de rând.

Multiplicați primul rând cu #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Adăuga #-9# de ori primul rând până la al doilea rând:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Adăuga #-36# de la primul rând la al treilea:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Multiplicați al doilea rând cu #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Adăuga #-2/3# de ori al treilea rând la al doilea rând:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Adăuga #-1/6# ori de la al doilea la primul

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Făcând această serie de operații către vectorul de soluție, dă:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Așa că citim soluțiile pe care le avem # a = 4/9 și b = -8 / 3 #

# f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

grafic {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7.205, 12.795, -5.2, 4.8}