Cum găsiți o aproximare liniară față de rădăcină (4) (84)?

Răspuns:

#root (4) (84) ~ ~ 3,03 #

Explicaţie:

Rețineți că #3^4 = 81#, care este aproape de #84#.

Asa de #root (4) (84) # este puțin mai mare decât #3#.

Pentru a obține o aproximare mai bună, putem folosi o aproximare liniară, de exemplu metoda lui Newton.

Defini:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Atunci:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

și a dat aproximativ zero # x = un # de #f (x) #, o mai bună aproximare este:

# a - (f (a)) / (f '(a)) #

Deci, în cazul nostru, punerea # A = 3 #, o mai bună aproximare este:

3 (3)) / (f '(3)) = 3- (3- ^ 4-84) / (4 (3) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02 bar (7) #

Acest lucru este aproape corect #4# cifrele semnificative, dar să menționăm apropierea ca #3.03#

Răspuns:

#root (4) (84) ~~ # 3.02778

Explicaţie:

Rețineți că aproximarea liniară în apropierea unui punct #A# poate fi dat de:

# f (x) ~ ~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Dacă este dat: #f (x) = rădăcină (4) (x) #

apoi o alegere potrivită pentru #A# va fi # A = 81 # pentru că știm #root (4) 81 = 3 # exact și este aproape de #84#.

Asa de:

#f (a) = f (81) = rădăcină (4) (81) = 3 #

De asemenea;

#f (x) = x ^ (1/4) # asa de #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Prin urmare, putem aproxima (aproape #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies rădăcină (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Asa de:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Valoarea mai exactă este #3.02740#

astfel încât aproximarea liniară este destul de aproape.

Răspuns:

#root 4 (84) ~ ~ 3,02bar7 #

Explicaţie:

Putem spune că avem o funcție #f (x) = rădăcină (4) (x) #

și # rădăcină (4) (84) = f (84) #

Acum, hai să găsim derivatul funcției noastre.

Utilizăm regula de putere, care afirmă că dacă #f (x) = x ^ n #, atunci #f '(x) = nx ^ (n-1) # Unde # N # este o constantă.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1 / # 4

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Acum, pentru a aproxima # rădăcină (4) (84) #, încercăm să găsim cea de-a patra putere perfectă cea mai apropiată de 84

Sa vedem…

#1#

#16#

#81#

#256#

Vedem asta #81# este cel mai apropiat.

Acum gasim linia tangenta a functiei noastre # X = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Aceasta este panta pe care o cautam.

Să încercăm să scriem ecuația liniei tangente în formă # Y = mx + b #

Ei bine, ceea ce este # Y # egal cu momentul # X = 81 #?

Sa vedem…

#f (81) = root (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Prin urmare, acum avem:

# 3 = M81 + b # Știm că panta, # M #, este #1/108#

=># = 3 1/108 * 81 + b # Acum putem rezolva # B #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Prin urmare, ecuația liniei tangente este # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Acum folosim 84 în locul lui #X#.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># Y = 7/9 + 9/4 #

=># Y = 28/36 + 81/36 #

=># Y = 109/36 #

=># Y = 3.02bar7 #

Prin urmare, #root 4 (84) ~ ~ 3,02bar7 #