Ce este ortocentrul unui triunghi cu colțuri la (9, 7), (4, 4) și (8, 6) #?

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Vom numi vertexele # A = (4,4) #, # B = (9,7) # și # C = (8,6) #.

Trebuie să găsim două ecuații care sunt perpendiculare pe două laturi și care trec prin două dintre vârfuri. Putem găsi panta a două laturi și, în consecință, panta celor două linii perpendiculare.

Slope de AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Panta perpendiculară pe aceasta:

#-5/3#

Aceasta trebuie să treacă prin punctul C, astfel încât ecuația liniei este:

# Y-6 = -5/3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Slope de BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Panta perpendiculară pe aceasta:

#-1#

Aceasta trebuie să treacă prin punctul A, astfel încât ecuația liniei este:

# Y-4 = - (x-4) #, # Y = -x + 8 # 2

În cazul în care 1 și 2 se intersectează este orthocenter.

Rezolvarea 1 și 2 simultan:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Utilizând 2:

# Y = -17 + 8 = -9 #

Orthocenter:

#(17, -9)#

Deoarece triunghiul este obtuz, ortocentrul este în afara triunghiului. acest lucru poate fi văzut dacă extindeți liniile de altitudine până când acestea trec.

Răspuns:

Orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

circumscris

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Explicaţie:

Orthocenter

Dat # p_1, p_2, p_3 # și

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # astfel încât

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> =

Aceste vectori sunt ușor de obținut, De exemplu

# p_1 = (x_1, y_1) # și # p_2 = (x_2, y_2) # și apoi

# vc (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Acum avem

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Aceste trei linii se intersectează la ortocenterul triunghiului

alegere # L_1, L_2 # noi avem

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # sau

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

oferind ecuațiile

# {vc v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_):} #

Acum rezolvând pentru # Lambda_1, lambda_2 # noi avem

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

și apoi

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

circumscris

Ecuația circumferinței este dată de

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

acum dacă # {p_1, p_2, p_3} în C # noi avem

(x2 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x2x2 + y2-2-2x_2 x_0-2y_2 y0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0)

scăzând primul din cel de-al doilea

(x_2-y_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 # x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^

scăzând primul din cel de-al treilea

(x_3-y_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 # x_3_2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)

oferind sistemul de ecuații

(x_2-x_1, y_2-y_1), (x3-x_1, y3-y_1)) ((x_0), (y0)) = 1/2 y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Acum înlocuind valorile date, ajungem la

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Atașat un grafic care prezintă orthocenter (roșu) și circumcentercenter (albastru).