Care este ortocentrul unui triunghi cu colțuri la (4, 7), (9, 5) și (5, 6)?

Răspuns:

#color (albastru) ((5/3, -7/3) #

Explicaţie:

Orthocenterul este punctul în care se întâlnesc altitudinile extinse ale unui triunghi. Acesta va fi în interiorul triunghiului dacă triunghiul este acut, în afara triunghiului dacă triunghiul este obtuz. În cazul triunghiului cu unghi drept, va fi la vârful unghiului drept. (Cele două părți sunt fiecare altitudine).

În general, este mai ușor să faceți o schiță grosieră a punctelor, astfel încât să știți unde vă aflați.

Lăsa # A = (4,7), B = (9,5), C = (5,6) #

Deoarece altitudinile trec printr-un vârf și sunt perpendiculare pe partea opusă, avem nevoie de găsirea ecuațiilor acestor linii. Din definiție va fi evident că trebuie să găsim doar două dintre aceste linii. Acestea vor defini un punct unic. Nu este important să alegeți cele pe care le alegeți.

Voi folosi:

Linia # # AB trecând prin # # C

Linia # # AC trecând prin # B #

Pentru # # AB

Mai întâi găsiți gradientul acestui segment de linie:

# M_1 = (6-7) / (5-4) = - 1 #

O linie perpendiculară pe aceasta va avea un gradient care este reciproc negativ al acestei:

# M_2 = -1 / M_1 = -1 / (- 1) = 1 #

Aceasta trece prin # # C. Folosind forma panta punct a unei linii:

# Y-5 = 1 (x-9) #

# y = x-4 1 #

Pentru # # AC

# M_1 = (5-7) / (9-4) = - 2/5 #

# M_2 = -1 / (- 2/5) = 5 / -2 #

Trecând prin # B #

# Y-6 = 5/2 (x-5) #

# y = 5 / 2x-13/2 / 2 #

Intersecția dintre #1# și #2# va fi ortocentrul:

Rezolvarea simultană:

# 5 / 2x-13 / 2x + 4 = 0 => x = 5/3 # pentru

Înlocuirea în #1#:

# Y = 5 / 3-4 = -7/3 #

Orthocenter:

#(5/3,-7/3)#

Observați că ortocenterul este în afara triunghiului deoarece este obtuz. Liniile de altitudine trec # # C și #A# trebuie să fie produse la D și E pentru a permite acest lucru.