Care este forma standard a ecuației parabolei cu focalizare la (2, -5) și directrix de y = 6?

Răspuns:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x-5/18 larr # aceasta este forma standard.

Explicaţie:

Deoarece direcția directoare este orizontală, știm că parabola se deschide sau coboară, iar forma vârfului ecuației sale este:

#y = a (x-h) ^ 2 + k "1" #

Știm că coordonata x a vârfului, h, este aceeași cu coordonatele x ale focusului:

#h = 2 #

Înlocuiți acest lucru în ecuația 1:

#y = a (x-2) ^ 2 + k "2" #

Știm că coordonata y a vârfului, k, este mijlocul dintre focus și directrix:

#k = (y_ "focalizare" + y_ "directrix") / 2 #

#k = (-5 + 6) / 2 #

#k = -1 / 2 #

Înlocuiți acest lucru în ecuație 2:

#y = a (x-2) ^ 2-1 / 2 "3" #

Fie f = distanța verticală de la vârf pentru a focaliza.

#f = -5 - (- 1/2) #

#f = -9 / 2 #

Putem folosi aceasta pentru a gasi valoarea pentru "a":

# a = 1 / (4 (f)) #

#a = 1 / (4 (-9 / 2) #

#a = -1 / 18 #

Înlocuiți acest lucru în ecuația 3:

# y = -1 / 18 (x-2) ^ 2-1 / 2 #

Extindeți pătratul:

# y = -1 / 18 (x ^ 2-4x + 4) -1 / 2 #

Utilizați proprietatea distributivă:

# y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x + 2 / 9-1 / 2 #

Combinați termenii constanți:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x-5/18 larr # aceasta este forma standard.