Triunghiul A are o suprafață de 15 și două laturi cu lungimile 4 și 9. Triunghiul B este similar triunghiului A și are o latură a lungimii 12. Care sunt zonele maxime și minime posibile ale triunghiului B?

Răspuns:

135 și #~~15.8#, respectiv.

Explicaţie:

Problema dificilă în această problemă este că nu știm care dintre laturile copacilor ale triunghiului original corespunde cu cea a lungimii 12 din triunghiul similar.

Știm că aria unui triunghi poate fi calculată din formula lui Heron

#A = sqrt {s (a-s) (s-b) (s-x)} #

Pentru triunghiul nostru avem # A = 4 # și # B = 9 # Așadar # s = {13 + c} / 2 #, # s-a = {5 + c} / 2 #, # s-b = {c-5} / 2 # și # s-c = {13-c} / 2 #. Prin urmare

# 15 ^ 2 = {13 + c} / 2 xx {5 + c} / 2 xx {c-5} / 2 xx {13-c}

Aceasta duce la o ecuație patratică în # C ^ 2 #:

# c ^ 4 - 194 c ^ 2 + 7825 = 0 #

care duce la oricare dintre ele #c ~~ 11.7 # sau # c ~ ~ 7.5 #

Deci, valoarea maximă și minimă posibilă pentru laturile triunghiului original sunt de 11,7 și respectiv 4. Astfel, valoarea maximă și minimă posibilă a factorului de scalare este #12/4=3# și #12/11.7~~ 1.03#. Deoarece scările de suprafață sunt pătrate de lungime, valorile maxime și minime posibile ale zonei triunghiului similar sunt # 15 xx 3 ^ 2 = 135 # și # 15 xx 1,03 ^ 2 ~ 15,8 #, respectiv.