Cum folosiți teorema valorilor intermediare pentru a verifica dacă există un zero în intervalul [0,1] pentru f (x) = x ^ 3 + x-1?

Răspuns:

Există exact 1 zero în acest interval.

Explicaţie:

Teorema valorii intermediare afirmă că pentru o funcție continuă definită pe interval # A, b # putem să lăsăm # C # fi un număr cu

# f (a) <c <f (b) # și asta #EE x în a, b # astfel încât #f (x) = c #.

Un corolar al acestui lucru este că, dacă semnul lui #f (a)! = # semn de #f (b) # acest lucru înseamnă că trebuie să existe unele #x în a, b # astfel încât # f (x) = 0 # deoarece #0# este evident între negativ și pozitiv.

Deci, haideți să subliniem în final:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

#prin urmare# există cel puțin un zero în acest interval. Pentru a verifica dacă există o singură rădăcină, ne uităm la derivatul care dă panta.

# f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

Putem vedea asta #AA x în a, b, f '(x)> 0 # astfel încât funcția este întotdeauna în creștere în acest interval - aceasta înseamnă că există doar o rădăcină în acest interval.