Care este valoarea minimă a lui g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? pe intervalul [-2,2]?

Răspuns:

Valoarea minimă este de # x = 1-sqrt 5 aproximativ "-" 1,236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1 + sqrt 5) / (8) aproximativ "-" 0,405 #.

Explicaţie:

Într-un interval închis, posibilele locații pentru un minim vor fi:

• un minim local în interiorul intervalului sau
• punctele finale ale intervalului.

Prin urmare, calculăm și comparăm valori pentru #G (x) # la orice #x în "-2", 2 # asta face #G '(x) = 0 #, precum și la #X = "- 2" # și # X = 2 #.

În primul rând: ce este #G '(x) #? Folosind regula de coeficient, obținem:

#G '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (alb), (g '(x)) = (x ^ 2 + 4.2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (alb), (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Aceasta va fi egală cu zero când numărul este zero. Prin formula quadratică, ajungem

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 aprox {"-1.236", 3.236} #

Numai una dintre acestea #X#-valuează în #'-2',2#, si asta e # x = 1-sqrt 5 #.

Acum, calculăm:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / ("- 2") ^ 2 + 4)

2. - 1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

# culoare (alb) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / (2) (5 + sqrt 5) / (5 + sqrt 5)) #

#color (alb) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5)

- (1 - sqrt 5) / - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = -

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Comparând aceste trei valori #G (x) #, vedem asta #g (1-sqrt 5) # este cel mai mic. Asa de # - (1 + sqrt 5) / 8 # este valoarea minimă pentru #G (x) # pe #'-'2, 2#.