Triunghiul A are o suprafață de 15 și două laturi cu lungimile 4 și 9. Triunghiul B este similar cu triunghiul A și are o latură de lungime 7. Care sunt zonele maxime și minime posibile ale triunghiului B?

Răspuns:

Există o posibilă a treia parte din jur #11.7# în triunghiul A. Dacă s-ar fi scalat la șapte, am avea o zonă minimă # 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #.

Dacă lungimea laturii #4# scalate la #7# am obține o suprafață maximă #735/16.#

Explicaţie:

Aceasta este probabil o problemă mai dificilă decât apare prima dată. Oricine știe cum să găsească cea de-a treia parte, care par să avem nevoie de această problemă? Normală normală triunghiulară ne face să calculam unghiurile, făcând o aproximare în cazul în care nu este necesar nici unul.

Nu este cu adevărat predată la școală, dar cea mai ușoară cale este teorema lui Archimedes, o formă modernă a teoremei lui Heron. Să numim zona A #A# și să-l legați de laturile lui A. # A, b # și # C. #

# 16A ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2)

# C # apare o singură dată, așa că este necunoscutul nostru. Să rezolvăm problema.

# (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2) ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2-16A ^

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 pm sqrt {4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2} #

Noi avem # A = 15, a = 4, b = 9. #

(4 ^ 2) (9 ^ 2) - 16 (15) ^ 2} = 97 pm sqrt {1584} #

#c = sqrt {97 pm 12 sqrt {11}} #

#c aproximativ 11.696 sau7.563 #

Sunt două valori diferite pentru # C #, fiecare dintre acestea dând naștere unui triunghi al zonei #15#. Semnul plus este de interes pentru noi deoarece este mai mare decât celelalte două părți.

Pentru zona maximă, scalarea maximă, adică cea mai mică scară laterală la #7#, pentru un factor de scară de #7/4# astfel încât o zonă nouă (care este proporțională cu pătratul factorului de scală) #(7/4)^2(15) = 735/16#

Pentru zona minimă, cele mai mari balanțe laterale sunt #7# pentru o nouă zonă de

# 15 (sqrt {97 + 12 sqrt {11}})) ^ 2 = 735 / (97 + 12 sqrt (11)