Care este panta liniei normale la linia tangenta de f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) la x = (15pi)

Răspuns:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Grafic interactiv

Explicaţie:

Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să calculam #f '(x) # la # x = (15pi) / 8 #.

Să facem acest termen pe termen. Pentru # Sec ^ 2 (x) # pe termen lung, rețineți că avem două funcții încorporate între ele: # X ^ 2 #, și #sec (x) #. Deci, va trebui să folosim o regulă de lanț aici:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2 sec (x) * d / dx

#color (albastru) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Pentru al doilea termen, va trebui să folosim o regulă de produs. Asa de:

d / dx (x-pi / 4)) = culoarea (roșu) (d / dx (x)) cos (x-pi /))(X)#

#color (albastru) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)

S-ar putea să vă întrebați de ce nu am folosit o regulă de lanț pentru această parte, pentru că avem o # (x-pi / 4) # în cosinus. Răspunsul este că am făcut-o implicit, dar l-am ignorat. Observați cum derivatul din # (x-pi / 4) # este pur și simplu 1? Prin urmare, multiplicarea a ceea ce nu schimba nimic, asa ca nu o scriem in calcule.

Acum, am pus totul împreună:

(x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4) = culoare (violet) (2sec ^ 4)) #

Urmăriți-vă semnele.

Acum, trebuie să găsim panta liniei tangente #f (x) # la # x = (15pi) / 8 #. Pentru a face acest lucru, vom conecta această valoare #f '(x) #:

(15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8) (15pi) / 8-pi / 4)) = culoare (violet) (~~ 6,79) #

Totuși, ceea ce dorim nu este linia tangentă la f (x), ci linia normal la el. Pentru a obține acest lucru, luăm doar reciprocitatea negativă a pantei de mai sus.

#m_ (normă) = -1 / -15,78 culoare (violet) (~~ 0,015) #

Acum, vom potrivi totul în forma pantă punct:

# y = m (x-x_0) + y0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Aruncați o privire la acest grafic interactiv pentru a vedea cum arată acest lucru!

Sper că a ajutat:)