Un super-erou se lansează din vârful unei clădiri cu o viteză de 7,3 m / s la un unghi de 25 deasupra orizontalei. Dacă clădirea are o înălțime de 17 m, cât de departe va călători orizontal înainte de a ajunge la pământ? Care este viteza sa finală?

O diagramă a acestui lucru ar arăta astfel:

Ceea ce aș face este să prezint ceea ce știu. Noi vom lua negativ ca în jos și stânga ca pozitivă.

#h = "17 m" #

#vecv_i = "7,3 m / s" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9,8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

PARTEA I: ASCENSIUNEA

Ce aș face este să găsesc unde apex este de a determina # # Deltavecy, apoi lucrați într-un scenariu de cădere liberă. Rețineți că la vârf, #vecv_f = 0 # pentru persoana respectivă schimbă direcția în virtutea predominării gravitației în scăderea componentei verticale a vitezei prin zero și în negativ.

O ecuație care implică # # Vecv_i, # # Vecv_f, și # # Vecg este:

# mathbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

unde spunem #vecv_ (fy) = 0 # la vârf.

De cand #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # și #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # iar această ecuație ne cere să folosim #g <0 #.

Pentru o parte 1:

#color (albastru) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2) / (2g) #

Unde #vecv_ (fy) = 0 # este viteza finală pentru o parte 1.

Amintiți-vă că o viteză verticală are a # # Sintheta (desenați un triunghi drept și obțineți #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # relaţie).

#color (verde) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

Acum ce am făcut # # Deltavecy și știm asta # # Vecv_y a schimbat direcția, putem presupune cădere liberă se produce.

inaltimea totala de cădere este #color (verde) (h + Deltavecy) #. Acesta este un lucru pe care îl putem folosi pentru o parte 2.

eu iau # # Deltavecy a fi despre # "0,485 m" # și #h + Deltavecy # a fi despre #color (albastru) ("17,485 m") #.

PARTEA A DOUA: FOLOSEAZA GRATUIT

Putem trata din nou # Y # direcție independent de #X# direcție, deoarece #veca_x = 0 #.

La apex, amintiți-vă #color (verde) (vecv_ (iy) = 0) #, care este viteza inițială pentru o parte 2, și a fost viteza finală în parte 1. Acum putem folosi o altă ecuație cinematică 2D. Amintiți-vă că înălțimea totală nu este # # Deltavecy aici!

# mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "freefall" ^ 2) + anula (v_ (iy)

Acum putem rezolva doar timpul necesar pentru a lovi pământul de la vârf.

#color (verde) (t_ "freefall") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = culoare (verde) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g)

și, bineînțeles, timpul evident nu este niciodată negativ, astfel încât să putem ignora răspunsul negativ.

… Și ajungem acolo.

PARTEA TREI: SOLUȚIONAREA DISTANȚEI ORIZONTALE

Putem reutiliza aceeași ecuație cinematică ca cea examinată anterior. Unul dintre lucrurile la care ne-am îndreptat este # # Deltax, care este:

#color (albastru) (Deltax) = anulați (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix)

Și ca înainte, utilizați o relație trig pentru a obține #X# componentă (# # Costheta).

# = culoare (albastru) (vecv_icostheta * t_ "total")> 0 #

Unde #t_ "de ansamblu" # NU este ceea ce avem în parte 2, dar va include și timpul #t_ "salt" # trecerea de la clădire la vârful zborului și #t_ "cădere liberă" # pe care am obținut-o mai devreme.

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "salt" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "salt" #

Cu #Deltay ~~ "0.485 m" #. Atunci când rezolvăm acest lucru folosind ecuația patratică, acesta ar da:

#t_ "leap" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 /

# ~~ "0.3145 s" #

Includeți timpul acumulat pentru apex la sol și ar trebui să obțineți #color (albastru) ("2,20 s") # pentru întregul zbor. Să numim asta #t_ "de ansamblu" #.

#t_ "total" = t_ "salt" + t_ "freefall" #

Utilizarea #t_ "de ansamblu" #, Eu iau #color (albastru) (Deltavecx ~~ "14,58 m") #.

PARTEA A PATRA: SOLUȚIONAREA VELOCITĂȚII FINALE

Acum va fi nevoie de ceva mai mult gândire. Noi stim aia #h = "17 m" # și avem # # Deltax. Prin urmare, putem determina unghiul în raport cu solul orizontal.

#tantheta '= (h + Deltavece) / (Deltavecx) #

#color (albastru) (theta '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx))) #

Observați cum am folosit #h + Deltavecy # de vreme ce, de fapt, am sărit în sus înainte de a cădea și nu am mers înainte. Deci, unghiul # # Teta implică # # Deltax si inaltimea totala, și vom lua mărime din înălțimea totală pentru aceasta.

Și, în sfârșit, încă # # Vecv_x nu sa schimbat tot timpul (ignorăm rezistența aerului aici):

#color (verde) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= culoare (verde) (vecv_icostheta')> 0 #

Unde # # Vecv_i este viteza inițială de la o parte 1. Acum trebuie doar să știm ce #vecv_ (fy) # este în parte 2. Reveniți la început pentru a vedea:

#vecv_ (fy) ^ 2 = anula (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vecg * (h + Deltavecy)

Prin urmare, aceasta devine:

#color (verde) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy)

Amintiți-vă că am definit ca negativ, asa de # h + Delta <0 #.

Bine, suntem ALȚII acolo. Suntem solicitați # # Vecv_f. Prin urmare, terminăm cu ajutorul funcției Teorema lui Pitagora.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (albastru) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <

Per total, #color (albastru) (| vecv_f | ~~ "19,66 m / s") #.

Și asta ar fi totul! Verificați răspunsul și spuneți-mi dacă a ieșit.

Aici, vel. de proiecție, # V = 7.3ms ^ -1 #

unghiul. de proiecție,# Alpha = 25 ^ 0 # deasupra orizontului

Componenta verticală în sus a velului de proiecție,# vsinalpha = 7,3 * sin25 ^ 0 = 7,3 * 0,42ms ^ -1 ~~ 3,07ms ^ -1 #

Clădirea are o înălțime de 17 m, iar deplasarea verticală netă ajunge la sol # H = -17m # ca super-erou proiectat în sus (luate pozitiv aici)

Dacă timpul de zbor adică timpul pentru a ajunge la sol este considerat T

apoi folosind formula #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # putem avea

# => - 17 = 3.07 * T-0.5 * 9.8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

împărțind ambele părți cu 4.9

# => T ^ 2-0.63T-3,47 = 0 #

# => T = (0,63 + sqrt ((- 0,63) ^ 2-4 * 1 * (- 3.47))) / 2 ~~ 2.20s #

(timp negativ aruncat)

Deplasarea orizontală a lui Hero înainte de a ajunge la sol va fi

# = T * vcosalpha = 2,20 ** 7.3cos (25 ^ 0) ~~ 14.56m #

Calcularea vitezei în momentul atingerii solului

Viteza verticală a componentei în momentul atingerii terenului

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17) #

Din nou componenta orizontală a vitezei în momentul atingerii solului

# => V_x = ucosalpha #

Viteza rezultantă la momentul atingerii solului

# V_r = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (u ^ 2sin ^ 2alfa + u ^ 2cos ^ 2alfa-2xx9.8xx17) #

# => V_r = sqrt (u ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => V_r = sqrt (7,3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19,66 "m / s" #

Direcția de # # V_r cu orizontala# = Tan ^ -1 (v_y / v_x) #

# = Tan ^ -1 (sqrt (u ^ 2sin ^ 2alfa + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7,3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9,8) xx (-17)) / (7.3cos25)

# = 70.3 ^ @ -> "în jos cu orizontală" #

Este de ajutor?