Care este vectorul unic care este ortogonal față de planul care conține (- 5 i + 4 j - 5 k) și (4 i + 4 j + 2 k)?

Răspuns:

Există două etape: (1) găsirea produsului încrucișat al vectorilor, (2) normalizarea vectorului rezultat. În acest caz, răspunsul este:

# ((28) / (46,7) j- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Explicaţie:

Produsul încrucișat al a doi vectori dă un vector care este ortogonal (în unghi drept) ambelor.

Produsul încrucișat al doi vectori #(A#eu# + B #j# + C #k#)# și # (P #eu# + Q #j# + R #k#)# este dat de # (B * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * q-b * p) k #

Primul pas este acela de a găsi produsul încrucișat:

# (- 5i + 4j - 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4x2) ((4) 4) (k) (k) = (28i-10j) -36k) #

Acest vector este ortogonal pentru ambele vectori originali, dar nu este un vector unitar. Pentru a face un vector unic, trebuie să îl normalizăm: împărțiți fiecare componentă cu lungimea vectorului.

# l = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # Unități

Vectorul unitar ortogonal față de vectorii originali este:

# ((28) / (46,7) j- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Acesta este un vector unitar care este ortogonal pentru ambele vectori originali, dar există și altul - cel în direcția exactă opusă. Pur și simplu schimbarea semnului fiecăruia dintre componente produce un al doilea vector ortogonal față de vectorii originali.

# (- (28) / (46,7) i + (10) / (46,7) j + (36) / (46,7) k) #

(dar este primul vector pe care ar trebui să-l oferiți ca răspuns la un test sau o sarcină!)