Ce este cel mai mare cilindru de rază, r și înălțime h care se poate potrivi în sfera de rază, R?

Răspuns:

Volumul maxim al cilindrului se găsește dacă alegem

# r = sqrt (2/3) R #, și #h = (2R) / sqrt (3) #

Această alegere conduce la un volum maxim de cilindri de:

# V = (4piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Explicaţie:

``

Imaginați-vă o secțiune transversală prin centrul cilindrului și lăsați cilindrul să aibă înălțime # H #, și volumul # V #, atunci noi avem;

# H # și # R # poate fi variat și # R # este o constantă. Volumul cilindrului este dat de formula standard:

# V = pir ^ 2h #

Raza sferei, # R # este hypotenuse a triunghiului cu laturile # R # și # 1 / 2h #, deci folosind Pythagoras, avem:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Putem înlocui acest lucru în ecuația volumului nostru pentru a obține:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Acum avem volumul, # V # ca o funcție a unei singure variabile # H #, pe care căutăm să maximizăm wrt # H # astfel încât să se diferențieze # H # dă:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

La un nivel minim sau maxim, # (DV) / (dh) = 0 # asa de:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (evident că vrem rădăcină te + ve)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Cu această valoare de # H # primim:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Ar trebui să verificăm că această valoare conduce la un volum maxim (mai degrabă decât la un maxim). Facem acest lucru prin analizarea celui de-al doilea derivat:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

Si ca #h> 0 # am concluzionat că # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # și că punctul critic identificat duce la un maxim așa cum a fost căutat.

Prin urmare, volumul maxim al cilindrului se găsește dacă alegem

# r = sqrt (2/3) R #, și #h = (2R) / sqrt (3) #

Cu această alegere obținem volumul maxim ca;

# (2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)

#:. V = (2piR ^ 3) / sqrt (3) -1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt

#:. V = (2piR ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)

#:. V = (4piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Și, evident, volumul sferei este dat de:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Aceasta este o problemă foarte faimoasă, care a fost studiată de matematicieni greci înainte ca Calculul să fie descoperit. O proprietate interesantă este raportul dintre volumul cilindrului și volumul sferei:

# V / V_s = ((4piR ^ 3) / (3sqrt (3)) / (4/3piR ^ 3) = 1 / sqrt

Cu alte cuvinte, raportul volumelor este complet independent de # R #, # R # sau # H # care este un rezultat destul de uluitor!